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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Extrem-/ und Wendepunkte
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Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f (x)= -2sin [mm] (-\bruch{\pi}{2}x)+x+\pi [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm] und  -1<x<4. Schaubild ist Kf.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkte von Kf und die Koordinaten der Wendepunkte.


Ich weiß, dass man bei Extremstellen man f'(x)=0 setzen muss und bei Wendepunkten f''(x)=0
Aber hierbei komme ich einfach nicht weiter, dann meinte heute jemand zu mir, dass ich die Wendepunkte bei dieser Funktion auch mit der Periodenlänge ausrechnen kann, da ich sonst die Wendepunkte mit Substitution ausrechnen müsste.
Wie gehe ich da am besten vor?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chrisseltime,

> Gegeben ist die Funktion f (x)= -2sin
> [mm](-\bruch{\pi}{2}x)+x+\pi[/mm] mit x [mm]\in \IR[/mm] und  -1<x<4.
> Schaubild ist Kf.
> Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkte von Kf und die
> Koordinaten der Wendepunkte.
>  
> Ich weiß, dass man bei Extremstellen man f'(x)=0 setzen
> muss und bei Wendepunkten f''(x)=0
>  Aber hierbei komme ich einfach nicht weiter, dann meinte
> heute jemand zu mir, dass ich die Wendepunkte bei dieser
> Funktion auch mit der Periodenlänge ausrechnen kann, da
> ich sonst die Wendepunkte mit Substitution ausrechnen
> müsste.


Poste doch hierzu die Rechenschritte


>  Wie gehe ich da am besten vor?
>  


Das wissen wir nicht, da wir Deine Rechenschritte nicht kennen.


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
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Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine

Also ich habe bis jetzt
Extremstellen:

f'(x)=0
[mm] \pi [/mm] cos [mm] (-\bruch{\pi}{2}x)+1 [/mm] =0

Wendestellen:
f''(x)=0
[mm] \bruch{\pi^{2}}{2}sin (-\bruch{\pi}{2}x) [/mm] =0

und dann komm ich schon nicht mehr weiter

Bezug
                        
Bezug
Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chrisseltine,

> Also ich habe bis jetzt
> Extremstellen:
>  
> f'(x)=0
>  [mm]\pi[/mm] cos [mm](-\bruch{\pi}{2}x)+1[/mm] =0
>  
> Wendestellen:
>  f''(x)=0
>  [mm]\bruch{\pi^{2}}{2}sin (-\bruch{\pi}{2}x)[/mm] =0
>  
> und dann komm ich schon nicht mehr weiter


Löse die Gleichungen nach Sinus bzw.  Cosinus auf.

Die Lösungen der Gleichung für die Wendestellen
sollten kein Problem darstellen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine


>
> Löse die Gleichungen nach Sinus bzw.  Cosinus auf.
>  
> Die Lösungen der Gleichung für die Wendestellen
>  sollten kein Problem darstellen.

Genau damit habe ich gerade meine Probleme, ich versuch mich einfach mal an den Extremstellen:

>  >  
> > f'(x)=0
>  >  [mm]\pi[/mm] cos [mm](-\bruch{\pi}{2}x)+1[/mm] =0

nehm ich dann die 1 -?
also dann [mm]\pi[/mm] [mm] cos(-\bruch{\pi}{2}x)=-1 [/mm]

und dann hört es bei mir leider schon wieder auf, da ich nicht genau weiß wie ich nun mit dem cos umgehen soll, muss ich dann was mit [mm] cos^{-1} [/mm] machen?

Bezug
                                        
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Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mo 14.05.2012
Autor: fred97


> >
> > Löse die Gleichungen nach Sinus bzw.  Cosinus auf.
>  >  
> > Die Lösungen der Gleichung für die Wendestellen
>  >  sollten kein Problem darstellen.
>  
> Genau damit habe ich gerade meine Probleme, ich versuch
> mich einfach mal an den Extremstellen:
>  >  >  
> > > f'(x)=0
>  >  >  [mm]\pi[/mm] cos [mm](-\bruch{\pi}{2}x)+1[/mm] =0
>  nehm ich dann die 1 -?
>  also dann [mm]\pi[/mm] [mm]cos(-\bruch{\pi}{2}x)=-1[/mm]
>  
> und dann hört es bei mir leider schon wieder auf, da ich
> nicht genau weiß wie ich nun mit dem cos umgehen soll,
> muss ich dann was mit [mm]cos^{-1}[/mm] machen?

Ja, aber est durch [mm] \pi [/mm] teilen.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine

Also heißt es dann
cos [mm] -\bruch{\pi}{2}x)= -\bruch{1}{\pi} [/mm]

und dann

[mm] (-\bruch{\pi}{2}x= cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi}) [/mm]  
?

Bezug
                                                        
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Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Mo 14.05.2012
Autor: M.Rex


> Also heißt es dann
> cos [mm]-\bruch{\pi}{2}x)= -\bruch{1}{\pi}[/mm]
>  
> und dann
>  
> [mm](-\bruch{\pi}{2}x= cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi})[/mm]  
> ?

Soweit ok. Jetzt nusst du die [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] noch vom x abtrennen.

Danach benötigst du noch die periodizität des Kosinus um alle Nullstellen im vorgegebenen Intervall zu finden.

Marius


Bezug
                                                                
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Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine

Also dann noch *2 und [mm] /-\pi? [/mm]

also dann
X= [mm] cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi})-\bruch{2}{\pi} [/mm]

Stimmt das?

> Danach benötigst du noch die periodizität des Kosinus um
> alle Nullstellen im vorgegebenen Intervall zu finden.

Was du damit meinst versteh ich nicht?

Bezug
                                                                        
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Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chrisseltine,

> Also dann noch *2 und [mm]/-\pi?[/mm]
>  
> also dann
>  X= [mm]cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi})-\bruch{2}{\pi}[/mm]
>  

Hier meinst Du doch wohl:

[mm]X= cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi})\blue{*}\bruch{2}{\pi}[/mm]


> Stimmt das?
>  


Sofern [mm]\cos^{-1}[/mm] die Umkehrfunktion des Cosinus ist, ja.

Das  ist erst eine mögliche Nullstelle.


> > Danach benötigst du noch die periodizität des Kosinus um
> > alle Nullstellen im vorgegebenen Intervall zu finden.
>  
> Was du damit meinst versteh ich nicht?


Der Cosinus  ist periodisch mit der Periode [mm]2\pi[/mm].
Daher ergeben sich alle Lösungen zu:

[mm]x_{1,k}=\left(2k\pi+cos^{-1}(-\bruch{1}{\pi})\right)*\bruch{2}{\pi}, \ k \in \IZ[/mm]


Gruss
MathePower

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Extrem-/ und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mo 14.05.2012
Autor: chrisseltine

und wie bekomm ich dann meine Extremstellen heraus zwischen x: -1 und 4 heraus?

Bezug
                                                                                        
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Extrem-/ und Wendepunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chrisseltine,

> und wie bekomm ich dann meine Extremstellen heraus zwischen
> x: -1 und 4 heraus?


In dem Du verschiedene Werte für k einsetzt.


Gruss
MathePower

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