Extrem- und Wendepunkte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wo besitzen die Funkionen Extrem- und Wendestellen?
[mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{5}-4 [/mm] |
Hallo zusammen.
Meine Idee hierzu war erstmal die ersten drei Ableitungen zu bilden.
Danach die erste gegen Null zu setzen und nach x aufzulösen, anschließend das Ergebnis in die zweite Ableitung einzusetzen um zu schauen, ob die Funktion kleiner bzw. größer Null wird.
Die ersten drei Ableitungen hätte ich ja noch geschafft (so hoffe ich). Aber das Nullsetzen und Einsetzen macht mir Schwierigkeiten.
Hier mein bisheriger Weg
[mm] y'=\bruch{2ln(\bruch{x}{5})}{x}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{2-2ln(\bruch{x}{5})}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{4ln(\bruch{x}{5})-6}{x^{3}}
[/mm]
Beim Nullsetzen komme ich nicht an das "x". Ich habe das x grundsätzlich auf beiden Seiten, weil es entweder in der e-Funktion oder im Logarithmus gebunden ist.
Habt Ihr einen Tipp für mich?
DANKE IM VORAUS,
Bastian
|
|
| |
|
Hallo Bastian!
Deine Ableitungen stimmen leider nicht. Du musst hier die  Potenzregel in Verbindung mit der Kettenregel anwenden.
Ansonsten verstehe ich nicht, wie Du bei den Nullstellenberechnungen auf beiden Seiten der Gleichung x erhältst.
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null wird.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Do 31.05.2012 | | Autor: | v6bastian |
Hallo Roadrunner.
Danke für die Antwort. Die können auch nicht stimmen, weil ich mich bei der Potenz vertippt habe (das zweite mal heute *schäm*). Sorry dafür.
Die eigentliche Funktion lautet:
$ [mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{2}-4 [/mm] $
Danke für den Tipp mit dem Zähler. Das war mein Problem.
Werde nachher mal meine Lösung rein stellen mit der Bitte des Darüberschauens.
|
|
|
| |
|
Hallo noch mal,
leider hat es gestern nicht mehr geklappt mit dem Reinstellen der Lösung, aber ich probiere es heute mal.
Gesucht: Extrem- und Wendestellen
Funktion: [mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{2}-4
[/mm]
Ableitungen:
[mm] y'=\bruch{2ln(\bruch{x}{5})}{x}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{2-2ln(\bruch{x}{5})}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{4ln(\bruch{x}{5})-6}{x^{3}}
[/mm]
Extrema:
1.Ableitung Null gesetzt (Zähler, danke noch mal für den Tipp)
[mm] y'=0=2ln(\bruch{x}{5})
[/mm]
-> [mm] 0=ln(\bruch{x}{5})
[/mm]
-> [mm] e^{0}=1=\bruch{x}{5}
[/mm]
-> x=5
Die 5 in die 2.Ableitung eingesetzt ergibt:
[mm] f''(5)=\bruch{2-2ln(\bruch{5}{5})}{5^{2}}
[/mm]
[mm] f''(5)=\bruch{2-0}{25}
[/mm]
[mm] f''(5)=\bruch{2}{25}
[/mm]
Damit größer als Null und somit ein Minimum.
Die 5 in die Stammfunktion ergibt T (5|-4)
WENDESTELLEN
2.Ableitung = 0
[mm] 2-2ln(\bruch{x}{5})=0
[/mm]
[mm] 1-ln(\bruch{x}{5})=0
[/mm]
[mm] 1=ln(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] e=\bruch{x}{5}
[/mm]
5e=x
5e in die 3.Ableitung
[mm] f'''(5e)=\bruch{4ln(\bruch{5e}{5})-6}{5e^{3}}
[/mm]
[mm] f'''(5e)=\bruch{4*1-6}{5e^{3}}
[/mm]
f'''(5e)= [mm] -\bruch{2}{5e^{3}}
[/mm]
Somit kleiner Null. Daraus folgt die Krümmung geht von links nach rechts.
5e in die Stammfunktion eingesetzt ergibt die Koordinate W(5e|-3)
BITTE NOCH UM EURE MEINUNG ZUR LÖSUNG.
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Fr 01.06.2012 | | Autor: | v6bastian |
Super, danke dafür.
Die Klammern waren zum Glück im Handgeschriebenen gesetzt ;)
Wird die Stammfunktion eigentlich nur beim Integrieren benutzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bastian!
> Die Klammern waren zum Glück im Handgeschriebenen gesetzt
Dann kommt aber im Nenner auch ein anderes Ergebnis mit [mm] $\red{125}*e^3$ [/mm] heraus.
> Wird die Stammfunktion eigentlich nur beim Integrieren benutzt?
Es ist die Definition von "Stammfunktion", dass bei deren Ableitung wieder die Ausgangsfunktion herauskommt. Von daher ist "Stammfunktion" wirklich mit Integration verbunden.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
