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Forum "Differenzialrechnung" - Extrema
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Extrema: lokale und globale Extremst.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Do 03.02.2022
Autor: Trikolon

Aufgabe
,,Jede globale Extremstelle ist auch eine lokale Extremstelle''.

Ich bin gerade in einem Schulbuch auf diese Aussage gestoßen. Für mein Verständnis von lokalen Extremstellen (Minimum bzw. Maximum in einer Umgebung, d.h. offenem Intervall), müsste man noch ergänzen ,,falls es sich nicht um ein Randextremum handelt''.
Was meint ihr?

Ein Randextremum kann kein lokales Extremum sein, weil es kein offenes Intervall gibt, in dem die Extremstelle liegt (meiner Meinung nach ;))

        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Do 03.02.2022
Autor: fred97


> ,,Jede globale Extremstelle ist auch eine lokale
> Extremstelle''.
>  Ich bin gerade in einem Schulbuch auf diese Aussage
> gestoßen. Für mein Verständnis von lokalen Extremstellen
> (Minimum bzw. Maximum in einer Umgebung, d.h. offenem
> Intervall), müsste man noch ergänzen ,,falls es sich
> nicht um ein Randextremum handelt''.
> Was meint ihr?
>
> Ein Randextremum kann kein lokales Extremum sein, weil es
> kein offenes Intervall gibt, in dem die Extremstelle liegt
> (meiner Meinung nach ;))

Niemand sagt,  dass eine Umgebung ein offenes Intervall sein muss.




Bezug
                
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Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Do 03.02.2022
Autor: Trikolon

Das heißt? Wenn man eine Umgebung als abgeschlossenes Intervall definiert, gehören Randextrema dazu und sind auch lokale Extrema?


Ich zitiere mal noch aus dem Schulbuch, das ich erwähnt hatte:
,,Wenn wir von einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] sprechen, so verstehen wir darunter ein (beliebig kleines) offenes Intervall, das die zahl [mm] x_0 [/mm] als inneren Punkt enthält...'

Bezug
                        
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Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Do 03.02.2022
Autor: HJKweseleit

Unter https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert  findet man:


"Formale Definition

Es sei U ⊆ R   eine Teilmenge der reellen Zahlen (z. B. ein Intervall) und f : U → R eine Funktion.

f  hat an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ∈ U

    ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall I = ( a , b )  gibt, das [mm] x_0 [/mm]  enthält, so dass f ( [mm] x_0 [/mm] ) ≤ f ( x )  für alle x ∈ I ∩ U gilt;
    ein globales Minimum, wenn f ( [mm] x_0 [/mm] ) ≤ f ( x )  für alle x ∈ U  gilt;
    ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall I = ( a , b )  gibt, das [mm] x_0 [/mm]  enthält, so dass f ( [mm] x_0 [/mm] ) ≥ f ( x )  für alle x ∈ I ∩ U  gilt;
    ein globales Maximum, wenn f ( [mm] x_0 [/mm] ) ≥ f ( x )  für alle x ∈ U gilt.

Besitzt die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm]  ein Maximum, so nennt man den Punkt ( [mm] x_0 [/mm] , f ( [mm] x_0 [/mm] ) )  Hochpunkt, hat sie dort ein Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man von einem Extrempunkt."


Dabei kann das Intervall offen, halboffen oder abgeschlossen sein.

Demnach kann auch ein Randmaximum ein globales sein. Es gibt auch keinen Sinn, von einem Randmaximum als lokales Maximum zu reden, wenn dieses nicht auch globales sein soll, denn das globale Maximum (oder ggf. mehrere) soll das höchste von allen sein.

Bezug
                                
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Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:37 Fr 04.02.2022
Autor: Trikolon

Vielen Dank für deine Antwort!

Allerdings ist mir die Aussage, dass Randextrema absolute Extrema sein können klar. Es geht mir um die Frage, ob Randextrema auch lokale Extrema sein können oder ob dies im Widerspruch zur Definition lokaler Extremstellen (Vorhandensein einer Umgebung) steht.

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Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 04.02.2022
Autor: fred97

Zunächst sollten wir uns mit folgender Definition vertraut machen:

Sei [mm] x_0 \in \IR [/mm] und $r>0$. Dann nennt man die Menge [mm] $U_r(x_0):= (x_0-r,x_0+r)$ [/mm] eine $r-$ Umgebung von [mm] x_0. [/mm] Eine solche ist ein offenes Intervall.

Weiter nennt man $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine Umgebung von [mm] x_0, [/mm] wenn es ei $r>0$ gibt mit [mm] $U_r(x_0) \subseteq [/mm] U.$

So, nun zu Extrema:

Sei $D$ eine nichtleere Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion und [mm] $x_0 \in [/mm] D.$


Man sagt, $f$ hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung $U$ von [mm] x_0 [/mm] gibt mit:

     $f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D [mm] \cap [/mm] U$.

Weiter sagt man, $f$  hat in [mm] x_0 [/mm] ein globales Maximum, wenn gilt

     $f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$.


Entsprechen def. man "lokales Minimum" bzw. "globales Minimum".


Bei diesen Definitionen spielt es keine Rolle, ob [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von $D$ ist oder [mm] $x_0 \in \partial [/mm] D$ oder, oder,...., Haupsache : [mm] $x_0 \in [/mm] D$


Beispiel:

$D=[-1,1]$ und [mm] $f(x)=1-x^2.$ [/mm]

$f$ hat in [mm] x_0=0 [/mm] ein lokales und auch ein globales Maximum (hier ist [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von $D$).

$f$ hat in [mm] $x_0=-1$ [/mm] ein lokales und auch ein globales Minimum (hier ist [mm] x_0 [/mm] ein Randpunkt von $D$).

$f$ hat in [mm] $x_0=1$ [/mm] ein lokales und auch ein globales Minimum (hier ist [mm] x_0 [/mm] ein Randpunkt von $D$).





Bezug
                                                
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Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 So 20.02.2022
Autor: Trikolon

Vielen Dank, Fred!

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