Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 21.06.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei [mm] B_1(0) :=\{(x,y)\in\IR^2| x^2+y^2\le 1\} [/mm] der abgeschlossene Ball vom Radius 1 um (0,0).
Bestimmen Sie das Minimum der Funktion
f: [mm] B_1(0)\to\IR, [/mm] f(x,y) := [mm] x^2+y^2-x+y+\bruch{1}{2} [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute..
ich hab zunächst herausgefunden, dass grad f = 0 wenn x=0,5 und y=-0,5
dann habe ich die Hesse Matrix aufstellt und herausgefunden, dass die pos. definit ist.
Also ist das ne max stelle und das minimum muss in den Randwerten liegen oder? nur wie genau berrechnet man jetzt die randwarte einer 2paramtigen fkt?
kann mir da bitte einer weiterhelfen?
danke und gruß ARi
|
|
| |
|
Hi, AriR
Eine Fage vorweg: Studierst du in Münster ? Weil ich hab auf meinen aktuellen Ana-Zettel auch diese Aufgabe...
Warum betrachtest du Randpunkte...du sollst doch von der Fkt nur die Extrema ausrechen, also bist du doch fertig, wenn du heraus hast, dass für x=(1/2 , -1/2) die Hesse-Matrix pos. definit ist und grad f(1/2 , -1/2)=0 ist. Oder nicht? Also ich hab dann aufgehört, weil man dadaruch doch herausbekommen hat, dass an diesen x ein lok. Minimum vorliegt. Mehr war doch nciht gefragt... 
Gruß, Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mi 21.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo ARi,
öhm, positiv definite Hesse-Matrix bedeutet doch lokales Minimum...
oder hast Du in Deiner Frage versehentlich was verkehrt herum geschrieben?
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 21.06.2006 | | Autor: | AriR |
ja da habe ich mich vertan, meinte minimum, aber das ist ja nur ein lokales minimum und nicht der gringste wert der funktion oder?
da ist ja nach dem aller kleinsten wert der fkt. gefragt und nicht nur nach einem lokalen minimum oder?
es gibt ja auch bei 1-dim fkt die irgendwo ein minimum haben, aber für [mm] x\to\infty [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] gehen.
das kann ja bei diesen fkt genau so sein oder nicht?
nur ich weiß nicht wie ich das genau machen muss.
muss ich zB das x als konstante betrachten, mit [mm] y\gegen [/mm] die randwerte des Defintionsbereichs gehen und gucken für welches y es dann minimal wird und das ganze dann nochmal andersrum also mit y konstant und x variabel?
gruß ari
|
|
|
| |
|
Axo meinst du das...
Wenn man jeztt zeigen könnte, dass es kein anderen Wert gibt, der kleiner ist, d.h. kein [mm] x_{0} \in B_{1}(0) [/mm] mit [mm] f(x_{0})< [/mm] f(1/2, -1/2) = 0, wäre die Aufgabe ja auch fertig... Aber es könnte ja wirklich sein, dass es noch einen kleineren gibt... *grübel*
Muss ich nochmal drüber nachdenken...
Gruß, Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 21.06.2006 | | Autor: | AriR |
ja genau so.. nur wie? +g+
|
|
|
| |
|
Hi nochmal...
Ich glaube, ich habe gerade aufn Schmierzettel gezeigt, dass es keine weiteren Punkte gbt, die kleiner sind... HOffe, hab keinen Fehler gemacht...
Also:
z.z.: Es gibt keinen weiteren Wert [mm] P_{0} \in B_{1}(0) [/mm] mit f [mm] (P_{0}) [/mm] < 0 = f(1/2 , -1/2)
Beweis:
Gesucht sind [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] mit [mm] x_{0}^{2} [/mm] + [mm] y_{0}^{2} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] y_{0} [/mm] +1/2 < 0
[mm] x_{0}^{2} [/mm] + [mm] y_{0}^{2} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] y_{0} [/mm] +1/2 < 0
[mm] \gdw x_{0}^{2} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2})^{2} +y_{0}^{2} [/mm] + [mm] y_{0} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2})^{2} +\bruch{1}{2} [/mm] < 0
[mm] \gdw (x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] + [mm] (y_{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] < 0
Und diese Ungleichung hat keine Lösung. Also gibt es kein [mm] P_{0}, [/mm] dessen Wert kleiner ist als [mm] f(\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{2}).
[/mm]
=> das lokale Min ist auch das Min insgesamt...
Hoffe, der Beweisgedanke ist richtig. Korrektur/Kritik ist sehr erwünscht... 
Gruß, Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 21.06.2006 | | Autor: | AriR |
jo für diesen fall ist dies sicher richtig, nur ich meinte das jetzt auch ein wenig aufs allgemeine bezogen. mann muss ja eigentlich nur die randwerte betrachten, weil man alle anderen stellen schon mit hilfe der grad f=0 Bedingung überprüft.
weiß einer vielleicht noch wie man allgemein die randwerte einer mehr parametigen fkt betrachten kann?
|
|
|
| |
|
Hallo Ari,
1. Extrema global suchen( Das mit gradf=0 usw.) da erhälst Du den bereits besprochenen Punkt.
2. Den Rand betrachten [mm] x^2+y^2=1 [/mm] und dort die Extrema suchen( einsetzen umstellen oder Lagrange)
3. Fürs Bsp. reicht natürlich das vorgeschlagene völlig aus.
Also fehlt Dir 2. dafür kannst Du entweder einsetzen. Vllt. den Kreis in Parameterform
[mm] \vektor{x \\ y}= \vektor{cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
oder Lagrange Multiplikator Methode verwenden.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
