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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema
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Extrema: Bestimmung von Extrema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Mi 18.07.2007
Autor: SpezimitFanta

Aufgabe
Bestimmen sie alle lok. Extrema von

f(x,y) = [mm] (4x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) e^{-x}^{2}*e^{-4y}^{2} [/mm]

Hi,

hoffe ihr könnt mir helfen. Hier muss ich die Extrema bestimmen.

Mein Problem besteht eigtl. schon am Anfang...

(grad f) (x,y) = (8x ... , 2y ... )

Was setze ich für ... ein ??? Bzw. wie leite ich die e Fkt. ab ??

Mache ich einfach

(grad f) (x,y) = (8x [mm] e^{-2x}^{2}*e^{-4y}^{2} [/mm] , 2y [mm] e^{-1x}^{2}*e^{-8y}^{2} [/mm] )

Dann hätte ich

8x = [mm] e^{-2x}^{2}*e^{-4y}^{2} [/mm]
2y = [mm] e^{-1x}^{2}*e^{-8y}^{2} [/mm]

Ist das bis hier hin richtig ???

Ich komme aber ab hier nicht weiter :(

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Extrema: Produktregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mi 18.07.2007
Autor: Loddar

Hallo SpezimitFanta,

[willkommenmr] !!


Zunächst einmal solltest Du Deine Funktion umschreiben gemäß MBPotenzgesetzen zu:

$ f(x,y) \ = \ [mm] \left(4x^2+y^2\right)*e^{-x^2}*e^{-4y^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(4x^2+y^2\right)*e^{-x^2-4y^2}$ [/mm]


Die e-Funktion [mm] $e^z$ [/mm] abgeleitet ergibt wieder die e-Funktion mit [mm] $e^z$ [/mm] .
In diesem Falle hier musst Du also noch die innere Ableitung gemäß MBKettenregel beachten.

Und für die beiden partiellen Ableitungen ist auch noch die MBProduktregel erforderlich.


Hier mal die partielle Ableitung [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] :

[mm] $f_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 8x*e^{-x^2-4y^2}+\left(4x^2+y^2\right)*e^{-x^2-4y^2}*\left(-2x\right)$ [/mm]

Nun können wir hier noch den [mm] $e^{...}$-Term [/mm] ausklammern:

[mm] $f_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] e^{-x^2-4y^2}*\left[8x+\left(4x^2+y^2\right)*(-2x)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^{-x^2-4y^2}*\left[8x-8x^3+-2xy^2\right]$ [/mm]


Wie sieht also nun die andere partielle Ableitung [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] aus?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Extrema: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Do 19.07.2007
Autor: SpezimitFanta

Jetzt habe ich was, vielen Dank :)
Bezug
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