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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 16.07.2010 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Man bestimme die relativen und absoluten Extremwerte von
[mm] \{f(x, y) =yx^2(4 - x - y)}. [/mm] |
Zuerst habe ich partiell abgeleitet
[mm] \{f_x(x,y)=8xy-3x^2y-2xy^2}={xy(8-3x-2y)}
[/mm]
[mm] \{f_y(x,y)=4x^2-x^3-2x^2y}={x^2(4-x-2y)}
[/mm]
und jetzt die kritischen stellen bestimmen mit [mm] \{f_x(x,y)=0} [/mm] und [mm] \{f_y(x,y)=0} [/mm] setzen
dabei kriegt man folgende Punkte:
[mm] P_1(0,0)
[/mm]
[mm] P_2(4,0)
[/mm]
[mm] P_3(0,2)
[/mm]
[mm] P_4(2,1)
[/mm]
jetzt habe ich die hessesche matrix aufgestellt:
[mm] \{H_f(x,y)}= \pmat{8y-6xy-2y^2 & 8x-3x^2-4xy \\ 8x-3x^2-4xy & -2x^2}
[/mm]
so jetzt kann man die punkte einsetzten und die matrix nach definitheit untersuchen:
[mm] \{H_f(4,0)}= \pmat{ 0 & -16 \\ -16 & -32 }
[/mm]
man bestimmt hier die eigenwerte mithilfe des charaktr. polynoms, man erhält jeweils -16 --> matrix ist negativ definit--> Maximum
[mm] \{H_f(2,1)}= \pmat{ -6 & -4 \\ -4 & -8}
[/mm]
da es sich um eine symmetrische matrix handelt, sind die eigenwerte -6 und -8 --> neg. definit--> Maximum
nun mein problem
[mm] \{H_f(0,0)}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \{H_f(0,2)}=\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
die matrizen sind jeweils semidefinit, was muss ich machen um eine aussage über die extrema machen zu können??
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 16.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
> $ [mm] \{H_f(2,1)}= \pmat{ -6 & -4 \\ -4 & -8} [/mm] $
> da es sich um eine symmetrische matrix handelt, sind die eigenwerte -6 und -8 --> neg. definit--> Maximum
Wer behauptet denn sowas? Beide Eigenwerte sind hier negativ aber niemals -6 und -8.
Eigenwerte sind [mm] $-7\pm \sqrt{17}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 16.07.2010 | | Autor: | can19 |
ohh ja stimmt :)
danke!
aber hast du eine idee wie ich es mit den anderen angesprochnen punkte
P=(0,0) und P=(0,2)
mache, wenn die matrix semedefinit ist??
lg
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Huhu,
> aber hast du eine idee wie ich es mit den anderen
> angesprochnen punkte
> P=(0,0) und P=(0,2)
> mache, wenn die matrix semedefinit ist??
von Hand halt. Was müsste bei einem Maximum bzw Minimum gelten?
Gilt das, oder nicht? Ist bei beiden Punkten eigentlich nicht schwer.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 17.07.2010 | | Autor: | can19 |
wie denn??
ich hätte jetzt zum beispiel den punkt in der umgebung untersucht,
für P=(0,0) hätte ich einmal f=(x,0) und f=(0,y) eingesetzt aber bei der funktion ergibt sich null, da kann man wieder keine aussage treffen
und wie mache ich das bei P=(0,2) ??
oder noch eine idee
für P=(0,0) wähle ich f=(x,x)---> f= [mm] 4x^3-2x^4 [/mm] aber das hilft mir doch auch nicht weiter da
für x<0 --> f<0
für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 --> [mm] 0\le [/mm] f [mm] \le [/mm] 2
für x> 2 --> f<0
was sagt mir das???
hilfe!!! :(
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> wie denn??
> ich hätte jetzt zum beispiel den punkt in der umgebung
> untersucht,
> für P=(0,0) hätte ich einmal f=(x,0) und f=(0,y)
> eingesetzt aber bei der funktion ergibt sich null, da kann
> man wieder keine aussage treffen
> und wie mache ich das bei P=(0,2) ??
> oder noch eine idee
> für P=(0,0) wähle ich f=(x,x)---> f= [mm]4x^3-2x^4[/mm] aber
> das hilft mir doch auch nicht weiter da
> für x<0 --> f<0
> für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 --> [mm]0\le[/mm] f [mm]\le[/mm] 2
> für x> 2 --> f<0
> was sagt mir das???
Hallo,
das sagt Dir: wenn Du die Winkelhalbierende entlanggehst und Dich dem Punkt (0|0) näherst, sind die Funktionswerte auf der einen Seite >0 und auf der anderen Seite <0.
Damit kannst Du entscheiden, ob ein Extremwert an der Stelle (0|0) vorliegt oder nicht.
Bei (0|2) könntest Du schauen, was passiert, wenn Du sämtliche Geraden durch diesen Punkt entlangschreitend Dich dem Punkt (0|2) näherst.
Gruß v. Angela
> hilfe!!! :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 17.07.2010 | | Autor: | can19 |
ok erstmal danke :)
alos am punkt P=(0,0) liegt kein extremum vor weil die funktion in der umgebung auf der einen seite kleiner wird und auf der anderen seite größer
damit ist die bedingung für lokales minimum bzw. maximum nicht erfüllt
am punkt P=(0,2) sieht das auch so aus
wähle ich die umgebung [mm] f=(x,2)=4x^2-2x^3
[/mm]
für x<0 wird f >0
für x>0 wird f<0
demnach liegt im punkt P(0,2) kein extremum vor.
ist das soweit richtig??
ist das auch so richtig aufgeschrieben??
lg
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> ok erstmal danke :)
>
> alos am punkt P=(0,0) liegt kein extremum vor weil die
> funktion in der umgebung auf der einen seite kleiner wird
> und auf der anderen seite größer
> damit ist die bedingung für lokales minimum bzw. maximum
> nicht erfüllt
Ja, also ein Sattelpunkt.
>
> am punkt P=(0,2) sieht das auch so aus
> wähle ich die umgebung [mm]f=(x,2)=4x^2-2x^3[/mm]
> für x<0 wird f >0
> für x>0 wird f<0
Hallo,
das stimmt doch nicht. Es ist ja [mm] f(x,2)=2x^2(2-x), [/mm] die Funktionswerte sind in der Nähe des fraglichen Punktes (0|2) hier >0.
Du hast jetzt allerdings nur entlang der Geraden y=2 untersucht.
Gruß v. Angela
> demnach liegt im punkt P(0,2) kein extremum vor.
>
> ist das soweit richtig??
> ist das auch so richtig aufgeschrieben??
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 17.07.2010 | | Autor: | can19 |
soll ich dann irgendwelche beliebigen punkte um (0,2) wählen??
welche denn?? ich bin verwirrt!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 17.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
angela hat dir doch gesagt, was du machen kannst. lies unsere mühevollen ! posts genau.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 16.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Man bestimme die relativen und absoluten Extremwerte von
> [mm]\{f(x, y) =yx^2(4 - x - y)}.[/mm]
> Zuerst habe ich partiell
> abgeleitet
> [mm]\{f_x(x,y)=8xy-3x^2y-2xy^2}={xy(8-3x-2y)}[/mm]
> [mm]\{f_y(x,y)=4x^2-x^3-2x^2y}={x^2(4-x-2y)}[/mm]
>
> und jetzt die kritischen stellen bestimmen mit
> [mm]\{f_x(x,y)=0}[/mm] und [mm]\{f_y(x,y)=0}[/mm] setzen
> dabei kriegt man folgende Punkte:
> [mm]P_1(0,0)[/mm]
> [mm]P_2(4,0)[/mm]
> [mm]P_3(0,2)[/mm]
> [mm]P_4(2,1)[/mm]
>
> jetzt habe ich die hessesche matrix aufgestellt:
> [mm]\{H_f(x,y)}= \pmat{8y-6xy-2y^2 & 8x-3x^2-4xy \\ 8x-3x^2-4xy & -2x^2}[/mm]
>
> so jetzt kann man die punkte einsetzten und die matrix nach
> definitheit untersuchen:
> [mm]\{H_f(4,0)}= \pmat{ 0 & -16 \\ -16 & -32 }[/mm]
> man bestimmt
> hier die eigenwerte mithilfe des charaktr. polynoms, man
> erhält jeweils -16 --> matrix ist negativ definit-->
> Maximum
Der Eigenwert ist nicht richtig! Ich habe [mm] $-16+16\sqrt {2},-16-16\sqrt [/mm] {2}$
>
> [mm]\{H_f(2,1)}= \pmat{ -6 & -4 \\ -4 & -8}[/mm]
> da es sich um eine
> symmetrische matrix handelt, sind die eigenwerte -6 und -8
> --> neg. definit--> Maximum
Hier habe ich auch schon geschrieben, das die Eigenwerte nicht stimmen.
>
> nun mein problem
> [mm]\{H_f(0,0)}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\{H_f(0,2)}=\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> die matrizen sind jeweils semidefinit, was muss ich machen
> um eine aussage über die extrema machen zu können??
>
Da kann ich dir auch nicht weiter helfen. Denn i.a. sind keine Aussagen möglich. Ich habe dir es mal geplottet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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