Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht sind Extrem-bzw. Sattelpunkte von f.
[mm] f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{3} [/mm] |
Hallo,
hier mein Ansatz:
[mm] f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{3}
[/mm]
[mm] f_{x}=3x^{2}+2y=0 [/mm] (I)
[mm] f_{y}=3y^{2}+2x=0 [/mm] (II)
Aus I: [mm] y=-\bruch{3}{2}x^{2} [/mm] (III)
III in II: [mm] 2x+\bruch{27}{4}x^{4}=0
[/mm]
[mm] 2x+\bruch{27}{4}x^{4}=x(2+\bruch{27}{4}x^{3})=0 [/mm] --> x=0 oder [mm] 2+\bruch{27}{4}x^{3}=0 [/mm]
so hier ist jetzt x=0 eine kritische stelle. aber den rest bekomme ich nicht heraus, weil ich aus [mm] 2+\bruch{27}{4}x^{3}=0 [/mm] aus negativen wert wurzel ziehen muss.
die lösungen sagen folgendes: [mm] x_{E1}=0 [/mm] , [mm] x_{E2}=-\bruch{2}{3} [/mm] ; [mm] y_{E1}=0 [/mm] , [mm] y_{E2}=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Wie kommt zur [mm] x_{E2}?
[/mm]
Danke vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Sa 20.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dein Weg ist komplett korrekt, auch das Zerlegen in das Produkt.
Aber der Faktor $ [mm] 2+\bruch{27}{4}x^{3}=0 [/mm] $ hat eine reelle Nullstelle, es gilt:
$ [mm] 2+\bruch{27}{4}x^{3}=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw\bruch{27}{4}x^{3}=-2 [/mm] $
$ [mm] \gdw x^{3}=-2\cdot\frac{4}{27} [/mm] $
$ [mm] \gdw x^{3}=-\frac{8}{27} [/mm] $
Und es gilt nun:
[mm] \left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}
[/mm]
Marius
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