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| Aufgabe | Es sei $f(x,y) = [mm] (2x-3y^{2})e^{-x^{2}} [/mm] , (x,y) [mm] \in \IR^{2}$:
[/mm]
a) Bestimmen Sie die stationären Punkte von f. Welche sind Minima bzw. Maxima?
b) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades mit Entwicklungspunkt [mm] $(\sqrt{\frac{1}{2}},0)$. [/mm] |
Die stationären Punkte bekomme ich, wenn ich den Gradienten der Funktion Null stetze:
[mm] $f_{x} [/mm] = [mm] 2e^{-x^{2}}(1-2x^{2}+3xy^{2})$
[/mm]
[mm] $f_{y} [/mm] = [mm] -6ye^{-x^{2}}$
[/mm]
grad [mm] \bigskip [/mm] f (x,y) = [mm] \begin{pmatrix}
f_{x}\\
f_{y}
\end{pmatrix} [/mm] = 0
Nun müssen die Nullstellen des Gradienten berechnet werden:
Aus [mm] $f_{y}$:
[/mm]
[mm] $-6ye^{-x^{2}}= [/mm] 0$
[mm] $e^{-x^{2}}$ [/mm] -> immer größer null
$-6y = 0$
$y = 0$
Mit $y=0$ und [mm] $f_{x}$:
[/mm]
[mm] $2e^{-x^{2}}(1-2x^{2}+3xy^{2}) [/mm] = 0$
[mm] $e^{-x^{2}}$ [/mm] -> immer größer null
[mm] $2*(1-2x^{2}+3xy^{2}) [/mm] = 0$
[mm] $4x^{2}-6xy^{2}-2=0$
[/mm]
-> Mit $y=0$ als Resultat aus [mm] $f_{y}=0$
[/mm]
[mm] $4x^{2}-2=0$
[/mm]
[mm] $x^{2}= \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Dadurch ergeben sich die Punkte:
[mm] $P_{1} [/mm] = [mm] (\frac{1}{\sqrt{2}},0)$
[/mm]
[mm] $P_{2} [/mm] = [mm] (-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$
[/mm]
welche nun in die Hesse-Matrix einsetzt werden müssen und jeweils für die resultierende Matrix die Definitheit überprüft werden muss um eine Aussage über Minimum oder Maximum zu machen. Ist das soweit richtig? Danke für die Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 11.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
stimmt alles.
Gruß,
notinX
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Super !
Die Hesse-Matrix mit, nach Satz von Schwarz [mm] $f_{yx} [/mm] = [mm] f_{xy} [/mm] = [mm] 12xye^{-x^{2}}$, [/mm] lieft mir nun allerdings folgendes:
[mm] $H_{f}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
Könnt Ihr mir einen Tipp geben wie nun weiterverfahre? Da alle Einträge 0 sind, kann ich keine Aussage über die Definiheit der Matrix geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mo 11.02.2013 | | Autor: | notinX |
Ja, rechne nochmal nach. Zumindest für einen kritischen Punkt sollte die Matrix nicht der Nullmatrix entsprechen.
Gruß,
notinX
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Also mit [mm] $x^{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] = 1/2$ bekomme ich:
[mm] $f_{x}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] 2e^{-\frac{1}{2}}(1-2\frac{1}{2}+0) [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{e}}(1-1)=0$
[/mm]
[mm] $f_{y}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] -6\times [/mm] 0 [mm] \times e^{-\frac{1}{2}} [/mm] = 0$
[mm] $f_{xy}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] 12x\times [/mm] 0 [mm] \times e^{-\frac{1}{2}} [/mm] =0$
Da [mm] $x^{2} [/mm] = [mm] \frac{-1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] = 1/2$ :
[mm] $f_{x}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] 2e^{-\frac{1}{2}}(1-2\frac{1}{2}+0) [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{e}}(1-1)=0$
[/mm]
[mm] $f_{y}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] -6\times [/mm] 0 [mm] \times e^{-\frac{1}{2}} [/mm] = 0$
[mm] $f_{xy}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] 12x\times [/mm] 0 [mm] \times e^{-\frac{1}{2}} [/mm] =0$
Wahrscheinlich bin ich zu blind um den Fehler zu sehen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 11.02.2013 | | Autor: | notinX |
Kein Wunder, dass da sowas rauskommt. Schau Dir nochmal die Definition der Hessematrix an, erste Ableitungen haben darin nichts verloren.
Gruß,
notinX
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Ups natürlich muss da die zweite Ableitung genommen werden:
[mm] $f_{xx} [/mm] = [mm] 2e^{-x^{2}}(-6x+3y^{2}+4x^{3}-6y^{2}x^{2})$
[/mm]
[mm] $f_{yy} [/mm] = [mm] -6e^{-x^{2}}$
[/mm]
Hesse-Matrix für Punkt [mm] $P_{1} [/mm] = [mm] (\frac{1}{\sqrt{2}},0)$:
[/mm]
[mm] $H_{f}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] =
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} & 0\\
0 & \frac{-6}{\sqrt{e}}
\end{pmatrix}$
[/mm]
=> indefinit, da positive sowie negative Eigenwerte: D.h. kein Extrema.
Hesse-Matrix für Punkt [mm] $P_{2} [/mm] = [mm] (-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$:
[/mm]
[mm] $H_{f}(-\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] =
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} & 0\\
0 & \frac{-6}{\sqrt{e}}
\end{pmatrix}$
[/mm]
=> neg. definit: Maximum.
Zu Aufgabenteil b):
[mm] $T_{1}( \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] ,0) = [mm] \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$
[/mm]
[mm] $T_{2}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}[\frac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \times (x-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} [/mm] - [mm] \frac{6}{\sqrt{e}} \times y^{2}]$
[/mm]
So ich hoffe das stimmt jetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ups natürlich muss da die zweite Ableitung genommen
> werden:
> [mm]f_{xx} = 2e^{-x^{2}}(-6x+3y^{2}+4x^{3}-6y^{2}x^{2})[/mm]
>
> [mm]f_{yy} = -6e^{-x^{2}}[/mm]
>
> Hesse-Matrix für Punkt [mm]P_{1} = (\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]:
>
> [mm]$H_{f}(\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} & 0\\
0 & \frac{-6}{\sqrt{e}}
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> => indefinit, da positive sowie negative Eigenwerte: D.h.
> kein Extrema.
>
> Hesse-Matrix für Punkt [mm]P_{2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]:
>
> [mm]$H_{f}(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} & 0\\
0 & \frac{-6}{\sqrt{e}}
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> => neg. definit: Maximum.
>
> Zu Aufgabenteil b):
>
> [mm]T_{1}( \frac{1}{\sqrt{2}} ,0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}[/mm]
>
> [mm]T_{2}(\frac{1}{\sqrt{2}},0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} + \frac{1}{2}[\frac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \times (x-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} - \frac{6}{\sqrt{e}} \times y^{2}][/mm]
>
> So ich hoffe das stimmt jetzt.
Es stimmt.
FRED
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