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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f mit
f: [mm] \IR^2 \to \IR,
[/mm]
x [mm] \mapsto 100(x_2-x_1^2)^2+(1-x_1)^2 [/mm] |
Hallo zusammen,
die notwendige Bedingung für ein Extremum ist doch erstmal, dass die Jacobi Matrix, angewendet auf die Funktion (mehrdimensionale Ableitung), was hier dem Gradienten entspricht, Null wird.
D.h. grad f=0, also [mm] (\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2}) [/mm] f=0,
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}=0
[/mm]
Also bilde ich erstmals die partiellen Ableitungen mittels Kettenregel:
[mm] \frac{\partial f}{\pratial x_1}=2\cdot 100(x_2-x_1^2)^2\cdot(-2x_1)+2(1-x_1)\cdot [/mm] (-1)
[mm] \gdw \frac{\partial f}{\partial x_1}=-400x_1(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)-2+2x_1=0
[/mm]
und nach [mm] x_2:
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_2}=2\cdot 100(x_2-x_1^2)^2\cdot [/mm] 1+0=0
[mm] \gdw \frac{\partial f}{\partial x_2}=200(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)=0
[/mm]
Also erhält man letztlich für den Gradienten: grad [mm] f=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}=\underbrace{[-400x_1(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)-2+2x_1]}_{=\frac{\partial f}{\partial x_1}}+\underbrace{[200(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)]}_{=\frac{\partial f}{\partial x_2}}=0
[/mm]
Kann das soweit stimmen? Der Term sieht ein wenig unheimlich aus=)
Wenn ja, dann muss ich diesen doch weiter vereinfachen und sollte letztlich für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] jeweils einen Wert bekommen, diese sogenannte kritische Stelle, mit der ich dann weiter arbeiten kann?
Wäre nett, wenn da mal eben jemand drüber schauen könnte!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f mit
>
> f: [mm]\IR^2 \to \IR,[/mm]
>
> x [mm]\mapsto 100(x_2-x_1^2)^2+(1-x_1)^2[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> die notwendige Bedingung für ein Extremum ist doch
> erstmal, dass die Jacobi Matrix, angewendet auf die
> Funktion (mehrdimensionale Ableitung), was hier dem
> Gradienten entspricht, Null wird.
>
> D.h. grad f=0, also [mm](\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2})[/mm]
> f=0,
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}=0[/mm]
>
> Also bilde ich erstmals die partiellen Ableitungen mittels
> Kettenregel:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\pratial x_1}=2\cdot 100(x_2-x_1^2)^2\cdot(-2x_1)+2(1-x_1)\cdot[/mm]
> (-1)
>
> [mm]\gdw \frac{\partial f}{\partial x_1}=-400x_1(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)-2+2x_1=0[/mm]
>
> und nach [mm]x_2:[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_2}=2\cdot 100(x_2-x_1^2)^2\cdot[/mm]
> 1+0=0
Da ist ein Quadrat zuviel !
$ [mm] \frac{\partial f}{\partial x_2}= 200(x_2-x_1^2)$
[/mm]
Damit: [mm] \frac{\partial f}{\partial x_2}=0 \gdw x_2=x_1^2
[/mm]
FRED
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> [mm]\gdw \frac{\partial f}{\partial x_2}=200(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)=0[/mm]
>
> Also erhält man letztlich für den Gradienten: grad
> [mm]f=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}=\underbrace{[-400x_1(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)-2+2x_1]}_{=\frac{\partial f}{\partial x_1}}+\underbrace{[200(x_2^2-2x_2x_1^2+x_1^4)]}_{=\frac{\partial f}{\partial x_2}}=0[/mm]
>
> Kann das soweit stimmen? Der Term sieht ein wenig
> unheimlich aus=)
>
> Wenn ja, dann muss ich diesen doch weiter vereinfachen und
> sollte letztlich für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] jeweils einen Wert
> bekommen, diese sogenannte kritische Stelle, mit der ich
> dann weiter arbeiten kann?
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> Wäre nett, wenn da mal eben jemand drüber schauen
> könnte!
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> Liebe Grüße
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