Extrema/Sattelpunkt bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
| Aufgabe | | Die Funktion g: [mm] \IR^2->\IR [/mm] ist durch g(x,y)=2xy(x+y-6) gegeben. Bestimmen Sie alle stationären Punkte von g! Welche davon sind lokale Minimalstellen, welche lokale Maximalstellen und welche Sattelpunkte? |
Hallo, ich habe angefangen zu rechnen scheiter aber an der notwendigen Fallunterscheidung. Ich wollte meine partiellen Ableitungen von gx und gy 0 setzen und bekomm das aber nicht hin =(
hoffe jemand kann helfen. danke
g(x,y)=2xy(x+y-6)
[mm] =2x^2y+2xy^2-12xy
[/mm]
partiell abgeleitet:
gx= [mm] 4xy+2y^2-12y
[/mm]
gy= [mm] 2x^2+4xy-12x
[/mm]
gxx=4y
gxy=gyx=4x+4y-12
gyy=4x
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/ExtremstellenSattelpunkte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion g: [mm]\IR^2->\IR[/mm] ist durch g(x,y)=2xy(x+y-6)
> gegeben. Bestimmen Sie alle stationären Punkte von g!
> Welche davon sind lokale Minimalstellen, welche lokale
> Maximalstellen und welche Sattelpunkte?
> Hallo, ich habe angefangen zu rechnen scheiter aber an der
> notwendigen Fallunterscheidung. Ich wollte meine partiellen
> Ableitungen von gx und gy 0 setzen und bekomm das aber
> nicht hin =(
> hoffe jemand kann helfen. danke
Hallo,
ich kenne mich leider mit diesen Verfahren nicht ausreichend aus, sehe aber, dass f(x,y)=f(y,x) gilt. Die Funktionswerte liegen also symmetrisch zu y=x. Wegen dieser Symmetrie sind für y=x Extrempunkte zu erwarten. Falls es außerhalb von y=x weitere Extrempunkte gibt, müssen diese paarweise auftreten.
Für x=y gilt [mm] g(x,x)=2x^2(2x-6)=4x^2(x-3).
[/mm]
Das sollte man mal auf besondere Stellen testen.
Gruß Abakus
>
> g(x,y)=2xy(x+y-6)
> [mm]=2x^2y+2xy^2-12xy[/mm]
>
> partiell abgeleitet:
>
> gx= [mm]4xy+2y^2-12y[/mm]
> gy= [mm]2x^2+4xy-12x[/mm]
>
> gxx=4y
> gxy=gyx=4x+4y-12
> gyy=4x
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/ExtremstellenSattelpunkte
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Hallo,
ich hab für den 1.Fall: x1=6 y1=-6
2.Fall:x2=0 y2=6
So dann hab ich die Hesse Matrix aufgestellt um zu gucken ob es nen Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt ist.
bei dem P(6,-6) = -720
bei dem P(0,6)= -144
aber das kann doch vorne und hinten nicht stimmen oder? Die Zahlen sind doch viel zu groß und es kann doch nicht rauskommen das gar nichts existiert oder?!?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ich hab für den 1.Fall: x1=6 y1=-6
> 2.Fall:x2=0 y2=6
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du musst mit den Bezeichnungen sorgfältiger sein ...
Mit dem 1.Fall $y=0$ aus der ersten Gleichung (also der für [mm] $g_x$), [/mm] ergibt sich für die 2te Gleichung (also für [mm] $g_y$): $g_y(x,0)=2x(x+2\cdot{}0-6)=0$, [/mm] also $x=0$ oder $x=6$
Damit hast du schonmal die stat. Punkte [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] und [mm] $(x_1,y_1)=(6,0)$
[/mm]
Nun setze mal die andere Möglichkeit (Fall 2) in [mm] $g_y$ [/mm] ein ...
Zur Kontrolle:
ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte [mm] $(x_2,y_2)=(2,2)$ [/mm] und [mm] $(x_3,y_3)=(0,6)$
[/mm]
>
> So dann hab ich die Hesse Matrix aufgestellt um zu gucken
> ob es nen Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt ist.
>
> bei dem P(6,-6) = -720
> bei dem P(0,6)= -144
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was soll das bedeuten?
Wie sehen denn die Hessematrizen in den stat. Punkten, also [mm] $H_g(x_i,y_i)$ [/mm] aus? ($i=0,1,2,3$)
Stelle diese auf und prüfe ihre Definitheit
Ich hoffe, du weißt, wie das geht, ansonsten: im Skript oder auf wiki nachschlagen und mit konkreten Rückfragen rückfragen 
> aber das kann doch vorne und hinten nicht stimmen oder? Die
> Zahlen
Wie gesagt: was sollen das für Zahlen sein und v.a. wie stehen sie im Bezug zur Hessematrix?
> sind doch viel zu groß und es kann doch nicht
> rauskommen das gar nichts existiert oder?!?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Zur Kontrolle:
>
> ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte
> [mm](x_2,y_2)=(2,2)[/mm] und [mm](x_3,y_3)=(0,6)[/mm]
>
so ich hab das jetzt gemacht gehabt, hab aber was anderes raus =(
schau mal:
gy(x,6-2x) = 2x(x+2(6-2x)-6)
= 2x(x+12-4x-6)
[mm] =2x^2+24x-8x^2-12x
[/mm]
[mm] =-6x^2-12x/:(-6)
[/mm]
[mm] =x^2+2x
[/mm]
p/q-Formel:
X1=-1+ [mm] \wurzel{1}
[/mm]
x2=-1- [mm] \wurzel{1}
[/mm]
x1(0,6)
x2(-2,10)
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Hallo nochmal,
>
> > Zur Kontrolle:
> >
> > ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte
> > [mm](x_2,y_2)=(2,2)[/mm] und [mm](x_3,y_3)=(0,6)[/mm]
> >
>
>
> so ich hab das jetzt gemacht gehabt, hab aber was anderes
> raus =(
>
> schau mal:
>
> gy(x,6-2x) = 2x(x+2(6-2x)-6)
> = 2x(x+12-4x-6)
> [mm]=2x^2+24x-8x^2-12x[/mm]
oha, nicht doch ausmultiplizieren, das ist doch schon so schön faktorisiert:
Fasse nur die Klammer zusammen: $=2x(x+12-4x-6)=2x(-3x+6)$
Und das ist [mm] $=0\gdw x=0\vee [/mm] -3x+6=0$, also [mm] $x=0\vee [/mm] x=2$
> [mm]=-6x^2-12x/:(-6)[/mm]
Hier wird's falsch! Es muss [mm] $=-6x^2\red{+}12x$ [/mm] heißen!
Und nun bitte nicht p/q-Formel, sondern $-6x$ ausklammern ...
> [mm]=x^2+2x[/mm]
>
> p/q-Formel:
>
> X1=-1+ [mm]\wurzel{1}[/mm]
> x2=-1- [mm]\wurzel{1}[/mm]
>
> x1(0,6)
> x2(-2,10)
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
okay jetz hab ich deine Punkte auch raus^^
so ich zeig dir jetzt mal wie wir dis inner Uni gemacht haben, aber die Ergebnisse können nicht stimmen....
H(x,y)= [mm] \pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }
[/mm]
H(0,0)= [mm] \pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }
[/mm]
det H(0,0)= -144
H(6,0)= [mm] \pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }
[/mm]
det H(6,0)=-144
H(0,6)= [mm] \pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }
[/mm]
det H(0,6)=-144
H(2,2)= [mm] \pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }
[/mm]
det H(2,2)=48
=> aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
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Hallo nochmal,
> okay jetz hab ich deine Punkte auch raus^^
>
> so ich zeig dir jetzt mal wie wir dis inner Uni gemacht
> haben, aber die Ergebnisse können nicht stimmen....
>
> H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm]
> det H(0,0)= -144
Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.
[mm] $det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow$ [/mm] Sattelpunkt.
Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv, der andere negativ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Matrix indefinit, also Sattelpunkt in $(0,0)$
>
> H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
> det H(6,0)=-144
wie oben
>
> H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
> det H(0,6)=-144
auch hier ein Sattelpunkt
>
> H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
> det H(2,2)=48
Also [mm] $det(H_g(2,2))>0$
[/mm]
Außerdem [mm] $a_{11}=8>0$, [/mm] was besagt also das Hauptminorenkriterium? ...
Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also ...
>
> => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Hallo nochmal,
> > H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm]
> >
> > H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm]
> > det H(0,0)= -144
>
> Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.
>
> [mm]det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt.
>
> Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv,
> der andere negativ [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix indefinit, also
> Sattelpunkt in [mm](0,0)[/mm]
Wie berechnet man Eigenwerte?!?
>
>
> >
> > H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
> > det H(6,0)=-144
>
> wie oben
>
>
>
>
> >
> > H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
> > det H(0,6)=-144
>
> auch hier ein Sattelpunkt
>
> >
> > H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
> > det H(2,2)=48
>
> Also [mm]det(H_g(2,2))>0[/mm]
>
> Außerdem [mm]a_{11}=8>0[/mm], was besagt also das
> Hauptminorenkriterium? ...
das wir einen lokale Minimumstelle haben =)
>
> Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also
> ...
>
> >
> > => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> > doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
>
> Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig
also haben wir hier 3 Sattelpunkte und 1 lokale Minimumstelle
und damit sind wir fertig, richtig;)
Lg Moni
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
>
> > > H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm]
> > >
> > > H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm]
> > > det H(0,0)= -144
> >
> > Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.
> >
> > [mm]det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt.
> >
> > Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv,
> > der andere negativ [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix indefinit, also
> > Sattelpunkt in [mm](0,0)[/mm]
>
>
> Wie berechnet man Eigenwerte?!?
Das ist nicht dein Ernst, oder?
Stichwort: charakteristisches Polynom, Nullstellen desselben, [mm] $det(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E})$ [/mm] ...
> >
> >
> > >
> > > H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
> > > det
> H(6,0)=-144
> >
> > wie oben
> >
> >
> >
> >
> > >
> > > H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
> > > det
> H(0,6)=-144
> >
> > auch hier ein Sattelpunkt
> >
> > >
> > > H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
> > > det H(2,2)=48
> >
> > Also [mm]det(H_g(2,2))>0[/mm]
> >
> > Außerdem [mm]a_{11}=8>0[/mm], was besagt also das
> > Hauptminorenkriterium? ...
>
> das wir einen lokale Minimumstelle haben =)
> >
> > Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also
> > ...
> >
> > >
> > > => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> > > doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
> >
> > Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig
>
> also haben wir hier 3 Sattelpunkte und 1 lokale
> Minimumstelle
> und damit sind wir fertig, richtig;)
Ja, fertig ist die Laube
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> Lg Moni
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
vielen Dank für deine Unterstützung.... =)
hast mir echt super gut geholfen....
danke Moni
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