Extrema Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Moin moin,
ich wollte euch mal fragen ob ich die folgende Aufgabe richtig gerechnet habe: |
Seien X1,..,Xn stochastisch unabhängige stetige R-wertige Zufalls-
variablen, die alle die gleiche Verteilung haben. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen des Maximums und des Minimums der X, i = 1,.., n in Abhängigkeit von der Verteilungsfunktion der Xi, i = 1,2,..,n. (Hinweis: Überlegen Sie, wann das Maximum von n Zahlen nicht größer als eine gegebene Zahl ist. Gehen Sie beim Minimum analog vor.)
Welche Dichtefunktion hat das Maximum von n stochastisch unabhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen mit gleichem Parameter ? (Hinweis: Stellen Sie eine Beziehung zwischen Dichte und Verteilungsfunktion her.)
1.Maximum:
P(max Xi<= [mm] x)=P(X_i<=x [/mm] für alle i)=P(X1<=x),.., P(Xn<=x)= Fx1(x),..., Fxn(x)
1<=i<=n
2.Minimum:
P(min Xi<= x)= [mm] 1-P(X_i<=x [/mm] für alle i)=1-P(X1>x),.., 1-P(Xn>x)= 1-(1-Fx1(x)),..., (1-Fxn(x)))
3.
Dichtefunktion der exponentialverteilung:
[mm] f(x)=\lambda*e^{-\lamda*x} [/mm] x>=0 und sonst 0
Verteilungsfunktion:
[mm] F(x)=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=1-e^{-\lamda*x} [/mm] für x>=0 sonst 0
Gefragt war ja:
Welche Dichtefunktion hat das Maximum von n stochastisch unabhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen mit gleichem Parameter?
doch leider hilft mir auch der hinweis nicht :(
ist 1 und 2 richtig?
bzw könnt ihr mir bei 3 helfen
LG
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Moin moin,
>
> ich wollte euch mal fragen ob ich die folgende Aufgabe
> richtig gerechnet habe:
> Seien X1,..,Xn stochastisch unabhängige stetige R-wertige
> Zufalls-
> variablen, die alle die gleiche Verteilung haben.
Da sie alle die gleiche Verteiluing haben gilt [mm] P(\{X_i\le t\})=F(t). [/mm] Da sie stetig sein sollen gilt, dass F(t) f.ü. differenzierbar, so daß für
[mm] f(t)=\begin{cases} F'(t),&\mbox{für }F\mbox{ diff'bar bei } t\\0, &\mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
[mm] F(t)-F(a)=\integral_a^t f(u)d\lambda(u) [/mm] gilt.
Das f.ü (fast überall) soll heißen, dass die Dichte u.U. auf einer Menge vom Lebesgue-Maß null nicht aus der Verteilung gewonnen werden kann (was z.B. der Fall ist wenn Knicke vorliegen), was aber nicht weiter schlimm ist.
Wegen der Unabhängigkeit gilt auch noch [mm] P(\cap_{i=1}^n\{X_i\le t_i\})=\produkt_{i=1}^n P(\{X_i\le t_i\})=\produkt_{i=1}^n F(t_i).
[/mm]
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen des Maximums und
> des Minimums der X, i = 1,.., n in Abhängigkeit von der
> Verteilungsfunktion der Xi, i = 1,2,..,n. (Hinweis:
> Überlegen Sie, wann das Maximum von n Zahlen nicht
> größer als eine gegebene Zahl ist. Gehen Sie beim Minimum
> analog vor.)
Sei also [mm] M:=\max(X_1,...,X_n). [/mm] Dann ist
[mm] P(\{M\le t\})=P(\{\max(X_1,...,X_n)\le t\})=P(\{\wedge_{i=1}^n (X_i\le t)\})
[/mm]
[mm] =P(\cap_{i=1}^n \{X_i\le t\})=\produkt_{i=1}^n F(t)=F(t)^n
[/mm]
Sei [mm] m:=\min(X_1,...,X_n)=-\max(-X_1,...,-X_n). [/mm] Dann ist
[mm] P(\{m\le t\})=P(\{-\max(-X_1,...,-X_n)\le t\})=P(\{\max(-X_1,...,-X_n)\ge -t\})
[/mm]
[mm] =1-P(\{\max(-X_1,...,-X_n)<-t\})=1-P(\{\wedge_{i=1}^n (-X_i<-t)\})=1-P(\{\wedge_{i=1}^n (X_i>t)\})
[/mm]
[mm] =1-P(\cap_{i=1}^n \{X_i>t\})=1-\produkt_{i=1}^n P(\{X_i>t\})=1-\produkt_{i=1}^n (1-P(\{X_i\le t\}))=1-(1-F(t))^n
[/mm]
> Welche Dichtefunktion hat das Maximum von n stochastisch
> unabhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen mit
> gleichem Parameter ? (Hinweis: Stellen Sie eine Beziehung
> zwischen Dichte und Verteilungsfunktion her.)
Die Verteilungsfunktion [mm] F_{X,\lambda}(t) [/mm] einer exponential verteilten Zufallsvariable X lautet [mm] F_{X,\lambda}(t)=(1-e^{-\lambda t})*1_{[0,\infty)}(t). [/mm] Gemäß dem obigen Ergebnis hat das Maximum M n solcher identisch und unabhängig verteilen Zufallsvariablen die Verteilung
[mm] F_{M,\lambda}(t)=((1-e^{-\lambda t})*1_{[0,\infty)}(t))^n=(1-e^{-\lambda t})^n*1_{[0,\infty)}(t)
[/mm]
Die Dichte erhält man durch Ableiten:
[mm] f_{M,\lambda}(t)=n\lambda e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t})^{n-1}*1_{[0,\infty)}(t)
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matheja |
Vielen lieben Dank :)
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