Extrema auf kompakten Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 16.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die globalem Extrema der Funktion
f:D[mm] \to [/mm] R, [mm] f(x,y)=x^3 [/mm] - [mm] 3xy^2 [/mm] mit D= (x,y) : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2[/mm] [mm] \le 1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich bin mir nicht ganz sicher , welchen Ansatz ich bei dieser Aufgabe wählen soll.Kann mir bitte jemand eine Resonanz geben ob folgende Vorgehensweise richtig ist?:
1. Schauen ob wir Extrempunte im Innern von D haben. D.h. für:
D: (x,y) mit [mm] x^2 +y^2[/mm] [mm] \le 1 [/mm]
gradf bilden
Meine erste Frage wäre: Was muss hier gelten : gradf = 0?
LG
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Sali
Du suchst in der richtigen Richtung. Als erstes suchst du die kritischen Punkte innerhalb D, dort muss gelten [mm]d f = 0[/mm]
Als weitere Kandidaten für Extrema kommen die Punkte auf dem Einheitskreis in Frage. Dazu solltest du die sogenannte Lagrange-Multiplikatorenregel verwenden:
Zuerst definiere
[mm]
g(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
[mm]
L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y) & \mbox{ }\lambda \in \IR
[/mm]
Nun löse das (i. a. nicht-lineare) Gleichungssysten:
[mm]
dL = 0
[/mm]
Die Lösungen davon sind deine Extremalstellen.
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 16.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Also ich habe eine andere Möglichkeit gefunden, wobei ich nocht weiß ob sie funktioniert.
Undzwar muß für die Extrema am Rand gelten:
gradf = [mm] \lambda*gradh [/mm]
wobei [mm] h(x,y)=x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1
anschliessen die entstandenen Gleichungen lösen und die Punkte einzeln betrachten.
Was haltet Ihr davon?
LG
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*g* Genau das habe ich ja hingeschrieben :)
Ciao
EvenSteven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mi 16.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Upps!
Habe es nicht sofort erkannt! :o)
Danke für die antwort!
LG
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harmonisch