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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Wir sollen alle inneren kritischen Punkte und alle absoluten Extremstellen bestimmen
[mm] g:[-1,1]\times \IR\to \IR [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto \bruch{(x^2-1)y}{1+x^2+y^2} [/mm] |
Erstmal kann man sagen, dass die funktion auf einem Kompakten intervall definiert und stetig ist. Somit nimmt die Funktion g ihr Maximum und Minimum an.
Nun ist [mm] \bigtriangledown [/mm] g(x,y)= [mm] \vektor{\bruch{2xy^3+4xy}{x^2+y^2+1} \\ \\ \bruch{(x^2-1)(x^2-y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}}
[/mm]
Also erhalte ich für [mm] \bigtriangledown [/mm] g(x,y) = (0,0) folgende gleichungen:
(I) [mm] 2xy^3+4xy=0
[/mm]
(II) [mm] (x^2-1)(x^2-y^2+1)=0
[/mm]
Aus (II) folgt:
[mm] x^2-1=0 [/mm] v [mm] x^2-y^2+1=0 [/mm]
Aus der ersten folgt:
[mm] x_1=1 [/mm]
[mm] x_2=-1
[/mm]
Für beide fälle erhalte ich für (I) y=0, da
[mm] 2y^3+4y [/mm] = 0
[mm] \gdw y(y^2+2)=0
[/mm]
also y=0 oder [mm] y^2=-2 [/mm] aber diese gleichung hat keine lösung in [mm] \IR.
[/mm]
Also sind (1,0) und (-1,0) mögliche extrema.
Nur sind das doch eben die Randpunkte des definitionsbereich oder nicht ?
Ich hab ja alles Tupel [mm] \{(-1,y);(1,y)| y\in \IR\}
[/mm]
Wenn ich dann die Hessematix bilde und die Punkte einsetze bekomme ich auch eine indefinite Matrix => keine extrema. Die funktion hat aber ganz sicher welche.
Die sollten sogar bei (0,1) und (0,-1) liegen nur weiss ich nicht wo mein fehler ist.
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Hallo Joker08,
> Wir sollen alle inneren kritischen Punkte und alle
> absoluten Extremstellen bestimmen
>
> [mm]g:[-1,1]\times \IR\to \IR[/mm] mit (x,y) [mm]\mapsto \bruch{(x^2-1)y}{1+x^2+y^2}[/mm]
>
> Erstmal kann man sagen, dass die funktion auf einem
> Kompakten intervall definiert und stetig ist. Somit nimmt
> die Funktion g ihr Maximum und Minimum an.
>
> Nun ist [mm]\bigtriangledown[/mm] g(x,y)=
> [mm]\vektor{\bruch{2xy^3+4xy}{x^2+y^2+1} \\ \\ \bruch{(x^2-1)(x^2-y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}}[/mm]
>
> Also erhalte ich für [mm]\bigtriangledown[/mm] g(x,y) = (0,0)
> folgende gleichungen:
>
> (I) [mm]2xy^3+4xy=0[/mm]
>
> (II) [mm](x^2-1)(x^2-y^2+1)=0[/mm]
>
> Aus (II) folgt:
>
> [mm]x^2-1=0[/mm] v [mm]x^2-y^2+1=0[/mm]
>
> Aus der ersten folgt:
>
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=-1[/mm]
>
> Für beide fälle erhalte ich für (I) y=0, da
>
> [mm]2y^3+4y[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw y(y^2+2)=0[/mm]
>
> also y=0 oder [mm]y^2=-2[/mm] aber diese gleichung hat keine lösung
> in [mm]\IR.[/mm]
>
> Also sind (1,0) und (-1,0) mögliche extrema.
>
> Nur sind das doch eben die Randpunkte des
> definitionsbereich oder nicht ?
>
Nein, das sind keine Randpunkte des Definitionsbereiches.
> Ich hab ja alles Tupel [mm]\{(-1,y);(1,y)| y\in \IR\}[/mm]
> Wenn
> ich dann die Hessematix bilde und die Punkte einsetze
> bekomme ich auch eine indefinite Matrix => keine extrema.
> Die funktion hat aber ganz sicher welche.
>
> Die sollten sogar bei (0,1) und (0,-1) liegen nur weiss ich
> nicht wo mein fehler ist.
Bestimme zunächst aus Gleichung (I) die möglichen Fälle.
Für jeden der auftretenden Fälle, löse Gleichung (II).
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 So 30.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
Ah vielen dank, damit hat sich mein problem erledigt :D
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