Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im angegebenen Bereich.
1.) f(x,y)= [mm] 2*x^{3}-5*x*y^{2}+3*y [/mm] für x,y [mm] \in \IR
[/mm]
2.) f(x,y)= [mm] x^{2}+3y^{2}+ e^{x*y} [/mm] für x,y [mm] \in \IR
[/mm]
3.) f(x,y)= sin(x+y) + sin(x) + sin(y) für 0 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Hallo Also mein Problem liegt darin, dass ich, wenn ich die ersten Ableitungen nach x und y bilde und diese dann 0 setze irgendwie nichtmehr weiterkomm, so dass ich konkrete Zahlen hab für die Extremwerte.
1.)
f'x = [mm] 6*x^{2} [/mm] - [mm] 5*y^{2}
[/mm]
f'y = -10xy+3
Wie muss ich da weitermachen, damit ich die Nullstellen/Kandidaten für Extremwerte bekomm?
f'y umformen auf x oder y und dann oben einsetzen?
analog beim 2.)
f'x = 2*x + [mm] e^{xy}*y
[/mm]
f'y = 6*y + [mm] e^{xy}*x
[/mm]
und auch beim 3.)
f'x = cos(x+y) + cos(x)
f'y = cos(x+y) + cos(y)
Hoffe mir kann da wer helfen!
Lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Do 28.06.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich bin nicht gerade ein Mathe-Brain um dir zuverlaessige Antworten geben zu koennen, aber was ich machen wuerde ist folgendes:
Wie du selber sagst, setzt du die partiellen Ableitungen gleich 0. Das hast Du aber noch nicht getan (mach das mal). Dann hast Du in jeder Aufgabe 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y), wobei die rechte Seite 0 ist (oder die linke, je nachdem wo du die 0 hinschreibst).
Nun loest du eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, zum Bsp nach y. Den Ausdruck fuer y setzt du dann in die andere Gleichung ein. Diese loest du dann nach x auf und setzt die Werte bzw den Wert in die nach y aufgeloeste Gleichung ein. Dann muesstest Du die Nullstellen der ersten Ableitung haben.
Anschliessend musst du mit der zweiten Ableitung ueberpruefen, ob oder welche Nullstellen (x,y) der ersten Ableitung wirklich Extrema sind.
Hoffe Dir weiter geholfen zu haben.
Gruss
bjj
|
|
|
| |
|
Ok dann versuch ichs mal.
1.)
f'x = $ [mm] 6\cdot{}x^{2} [/mm] $ - $ [mm] 5\cdot{}y^{2} [/mm] $
f'y = -10xy+3
f'y=0 => [mm] y=\bruch{3}{10*x}
[/mm]
einsetzen in f'x=0
f'x = $ [mm] 6\cdot{}x^{2} [/mm] $ - $ [mm] 5\cdot{}(\bruch{3}{10*x})^{2} [/mm] $=0
$ [mm] 6\cdot{}x^{2} [/mm] $ - $ [mm] 5\cdot{}(\bruch{9}{100*x^{2}}) [/mm] $=0
$ [mm] 6\cdot{}x^{2} [/mm] $ - [mm] \bruch{9}{20*x^{2}}=0
[/mm]
[mm] 6*x^{2}= \bruch{9}{20*x^{2}}
[/mm]
[mm] 6*x^{4}= \bruch{9}{20}
[/mm]
[mm] x^{4}= \bruch{9}{120}
[/mm]
==> ich sollte 4 Lösungen für x bekommen.
wie mach ich das bei [mm] x^{4}?
[/mm]
bzw. was setz ich dann in [mm] y=\bruch{3}{10*x} [/mm] fürs x ein? der reihe nach alle x1..4?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Do 28.06.2007 | | Autor: | BJJ |
> [mm]x^{4}= \bruch{9}{120}[/mm]
>
> ==> ich sollte 4 Lösungen für x bekommen.
es muessen nicht 4 verschiedene loesungen sein. du hast halt nur zwei verschiedene loesungen, jede mit der vielfachheit 2, falls du dich nicht verrechnest hast.
>
> wie mach ich das bei [mm]x^{4}?[/mm]
>
> bzw. was setz ich dann in [mm]y=\bruch{3}{10*x}[/mm] fürs x ein?
> der reihe nach alle x1..4?
in Prinzip ja, da du aber nur zwei verschiedene Loesungen fuer x hast setzt du eben nur zwei ein um die moeglichen y-werte zu ermitteln.
gruss
bjj
|
|
|
|
