Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 19.05.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die lokalen Extrema der Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR
[/mm]
[mm] f(x,y):=(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}-y^{2}} [/mm] |
So habe die Ableitungen gebildet
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=8x*e^{-4x^{2}-y^{2}}- 8x(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}-y^{2}}= e^{-4x^{2}-y^{2}}*(4x*(2-2y^{2}-8x^{2}))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= 2y*e^{-4x^{2}-y^{2}}-2y(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}}= e^{-4x^{2}}*(y(2-8x^{2}-2y^{2}))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x^{2}}= 64x^{2}(y^{2}+4x^{2})*e^{-4x^{2}}-8(y^{2}+4x^{2})*e^{-4x^{2}}-128x^{2}*e^{-4x^{2}}+8*e^{-4x^{2}}=e^{-4x^{2}}*(256x^{4}+64x^{2}y^{2}-8y-96x^{2}+8)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y^{2}}= 4y^{2}(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}}- 2(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}}-8y^{2}*e^{-4x^{2}}+2*e^{-4x^{2}}= e^{-4x^{2}-y^{2}}*(4y^{2}(4x^{2}+y^{2})-2(4x^{2}+y^
[/mm]
[mm] {2})-8y^{2}+2)
[/mm]
Wäre nett wenn ihr mal schuaen könnte ob sie stimmen
MfG
Damien
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[mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = e^{-4x^{2}-y^{2}}*(4x*(2 +2y^{2}-8x^{2}))[/mm] (das kleine + beachten  )
Am besten du vereinfachst das vorher soweit wie möglich (lässt sich auch leichter kontrollieren). Das sähe dann so aus:
[mm]= -8xe^{- 4x^2 - y^2}(4x^2 + y^2 - 1)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= 2y*e^{-4x^{2}-y^{2}}-2y(4x^{2}+y^{2})*e^{-4x^{2}}= e^{-4x^{2}}*(y(2-8x^{2}-2y^{2}))[/mm]
Stimmt, vereinfacht:
[mm]= -2ye^{- 4x^2 - y^2}(4x^2 + y^2 - 1)[/mm]
Vereinfache doch die zweiten Ableitungen bevor du sie nochmal postest, die nach [mm] x^2 [/mm] musst dir definitiv nochmal angucken.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 19.05.2008 | | Autor: | damien23 |
Danke für die schnelle Reaktion. die Schreibweise habe ich gewählt, da ich ja in dem nächsten Schritt die Jacobi-Matrix =Null setzen muss.
Da wird das so einfacher, den
[mm] e^{-4x^{2}-y^{2}}*(4x*(2-2y^{2}-8x^{2})= [/mm] 0
e^... ist ungleich =
für den Rest ist entweder x=0 oder [mm] (2-2y^{2}-8x^{2})=0 [/mm] oder [mm] 2-2y^{2}=0 [/mm] usw.
Bei der Ableitung x2 komme ich aber wieder auf mein Ergebniss
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Dir ist aber schon aufgefallen, dass ich geschrieben hab, dass deine erste Ableitung nach x fehlerhaft ist?
Dann kann das mit der zweiten auch nix werden 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 19.05.2008 | | Autor: | damien23 |
Doch schon nur ist
[mm] 8x-8x*(y^{2}+4x^{2})= 8x-8xy^{2}-2x^{3}=x*(8-8y^{2}-32x^{2}), [/mm] oder liege ich da falsch?
Somit = [mm] 4x*(2-2y^{2}-8x^{2}), [/mm] daher bei mir -
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Ich verstehe auch nicht, was Gonozal_IX da geschrieben hat.
Es ist (ganz sicher)
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\left(4x^{2}+y^{2}\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}\right)[/mm]
= [mm]8x*e^{-4x^{2}-y^{2}} + \left(4x^{2}+y^{2}\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}*(-8x)[/mm]
= [mm]\left(8x - 8x*\left(4x^{2}+y^{2}\right)\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}[/mm]
= [mm]8x*\left(1 - \left(4x^{2}+y^{2}\right)\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}[/mm]
= [mm]8x*\left(1 - 4x^{2}-y^{2}\right)\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}[/mm]
= [mm]-8x*\left(4x^{2}+y^{2}-1\right)\right)*e^{-4x^{2}-y^{2}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 20.05.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Natürlich hast du recht.... ich weiss auch nicht, was ich da geschrieben hab (zumal die Vereinfachung stimmt).....
danke für die Korrektur.
MfG,
Gono.
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