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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktion f mit f(x)= [mm] x*e^{-x} [/mm] und eine ihrer Stammfunktionen F mit F(x)= [mm] -e^{-x}*(x+1).
[/mm]
Untersuchen Sie, ob der Graph von F für -1<x<1 einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt. |
Hallo,
ich bin mir bei dieser Aufgabe unsicher.
Mein Ansatz ist folgender:
f'(x)=0
[mm] x*e^{-x}=0
[/mm]
das muss ich doch jetzt nach x auflösen oder?
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> Gegeben sind die Funktion f mit f(x)= [mm]x*e^{-x}[/mm] und eine
> ihrer Stammfunktionen F mit F(x)= [mm]-e^{-x}*(x+1).[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob der Graph von F für -1<x<1 einen
> lokalen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt.
> Hallo,
>
> ich bin mir bei dieser Aufgabe unsicher.
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> f'(x)=0
Hallo,
Du meinst sicher
F'(x)=0
> [mm]x*e^{-x}=0[/mm]
>
> das muss ich doch jetzt nach x auflösen oder?
Ja, Du mußt nun herausfinden, welche x die Gleichung lösen.
Dann hast Du die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen können.
LG Angela
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ich habe herausbekommen: x=0.
Nun muss ich doch 0 in F''(x) einsetzen oder?
Ich habe dann raus, dass der Graph von F an der Stelle 0 einen Tiefpunkt hat. So steht das auch in den Lösungen, jedoch mit einer anderen Begründung, die ich nicht nachvollziehen kann:
Der Graph von F hat an den Stellen Punkte mit waagerechter Tangente, an denen die Ableitung F'=f Nullstellen hat.
Dies ist nur für x=0 der Fall.
Da e^-x für alle x<0 positiv und x negativ ist, ist f(x) in diesem Bereich negativ.
Da e^-x und x für alle x>0 positiv sind, ist f(x) in diesem Bereich positiv.
Damit hat die Ableitung von F an der Stelle 0 einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Hieraus folgt, dass der Graph von F an der Stelle 0 einen Tiefpunkt hat.
Ich verstehe die Begründung nicht. Kann mir jemand diese erläutern?
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> ich habe herausbekommen: x=0.
> Nun muss ich doch 0 in F''(x) einsetzen oder?
>
> Ich habe dann raus, dass der Graph von F an der Stelle 0
> einen Tiefpunkt hat. So steht das auch in den Lösungen,
> jedoch mit einer anderen Begründung, die ich nicht
> nachvollziehen kann:
>
>
> Der Graph von F hat an den Stellen Punkte mit waagerechter
> Tangente, an denen die Ableitung F'=f Nullstellen hat.
> Dies ist nur für x=0 der Fall.
> Da e^-x für alle x<0 positiv und x negativ ist, ist f(x)
> in diesem Bereich negativ.
> Da e^-x und x für alle x>0 positiv sind, ist f(x) in
> diesem Bereich positiv.
> Damit hat die Ableitung von F an der Stelle 0 einen
> Vorzeichenwechsel von - nach +. Hieraus folgt, dass der
> Graph von F an der Stelle 0 einen Tiefpunkt hat.
>
> Ich verstehe die Begründung nicht. Kann mir jemand diese
> erläutern?
Hallo Micha
Diese Art der Begründung, bei der man ohne zweite Ableitung
auskommt, sollte nach meiner Ansicht in der Schule vor der
Methode mit zweiter Ableitung besprochen werden, weil sie
erstens anschaulicher ist und vor allem erst die Grundlage für
die Methode mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung bildet !
Hier in diesem konkreten Beispiel geht es um folgende
Betrachtungen:
1.) f hat an der Stelle x=0 (und nur da) eine Nullstelle.
2.) unmittelbar links davon ist x<0 und [mm] e^{-x} [/mm] >0 und
deshalb f(x)<0
3.) unmittelbar rechts von der Stelle x=0 ist x>0 und [mm] e^{-x} [/mm] >0 und
deshalb f(x)>0
Daraus folgt für den Graph der Stammfunktion F:
1.) dieser Graph besitzt an der Stelle x=0 eine horizontale Tangente
2.) unmittelbar links davon ist F fallend
3.) unmittelbar rechts davon ist F steigend
Damit wird offensichtlich (zeichne es dir auf !), dass der Graph
von F an der Stelle x=0 einen Tiefpunkt haben muss.
LG , Al-Chw.
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okay, ich glaube, ich habe das verstanden: Aber muss es bei 2. nicht heißen?:
e^-x < 0 statt >0 ?
Dass nur dort eine Nullstelle ist, muss man aber vorher berechnen oder?
Und noch eine Frage: Wenn ich für x=0 herausbekommen habe, muss ich (um die y-Koordinate auszurechnen) den Wert in F einsetzen? Also y= -1 ??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 30.09.2014 | | Autor: | chrisno |
> okay, ich glaube, ich habe das verstanden: Aber muss es bei
> 2. nicht heißen?:
>
> e^-x < 0 statt >0 ?
e hoch irgendetwas reelles ist immer größer als Null.
>
> Dass nur dort eine Nullstelle ist, muss man aber vorher
> berechnen oder?
Wenn Du die Nullstelle von f(x) meinst, ja. Denn man sucht zuerst die Kandidaten für das Extremum und nur die so erhaltenen Stellen werden weiter untersucht.
>
> Und noch eine Frage: Wenn ich für x=0 herausbekommen habe,
> muss ich (um die y-Koordinate auszurechnen) den Wert in F
> einsetzen? Also y= -1 ??
Formuliere genauer:
F(x) nimmt ein lokales Minimum im Punkt (0;-1) an.
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