Extrema im Mehrdimensionalen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Edem |
Liebe Forenmitglieder,
ich sitze gerade an Analysis mit mehreren Veränderlichen und hab dazu zwei Fragen, die mir gerade gekommen sind:
1)
Man kann ja die Extremwertbestimmung vom Eindimensionalen ins Mehrdimensionale übertragen: Man setzt den Gradient einen skalarwertigen Funktion Null und untersucht die Hesse-Matrix. Nun kann es ja passieren, dass die Hessematrix an den 'kritischen' Stellen "nur" negativ/positiv semi-definit ist. Dann liefert das Kriterium ja keinen Aufschluss, darüber wie sich die Funktion an diesen Punkten verhält. Meine Frage nun: Gibt es ein paar andere Methoden, die man in so einem Fall zu Rate ziehen kann? Wie könnte man weiter vorgehen?
2)
Gesetz den Fall ich habe eine beliebig oft differenzierbare Funktion
$ [mm] f:\IR^2\to\IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)$.
Statt nun ein Extremum über den oben genannten Ansatz bestimmen zu versuchen, könnte ich auch erst für jedes feste [mm] $\overline{y}$ [/mm] die Funktion
[mm] $g(x):=f(x,\overline{y})$
[/mm]
auf Extrema über [mm] $x=x(\overline{y})$ [/mm] untersuchen, dieses dann in $f$ einsetzen und dann ein Extremum über $y$ bestimmen? Also das mehrdimensionale Problem auf mehrere 1d Probleme herunterbrechen? Wenn ich z. B. sowohl über $x$ als auch über $y$ ein Minimum habe, müsste ich doch auch über $(x,y)$ ein Minimum haben, oder?
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus,
Edem
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 16.05.2010 | | Autor: | max3000 |
> 1)
>
> Man kann ja die Extremwertbestimmung vom Eindimensionalen
> ins Mehrdimensionale übertragen: Man setzt den Gradient
> einen skalarwertigen Funktion Null und untersucht die
> Hesse-Matrix. Nun kann es ja passieren, dass die
> Hessematrix an den 'kritischen' Stellen "nur"
> negativ/positiv semi-definit ist. Dann liefert das
> Kriterium ja keinen Aufschluss, darüber wie sich die
> Funktion an diesen Punkten verhält. Meine Frage nun: Gibt
> es ein paar andere Methoden, die man in so einem Fall zu
> Rate ziehen kann? Wie könnte man weiter vorgehen?
Also die Untersuchung der Hessematrix auf Definitheit ist eigentlich die einfachste Methode und die einzige die ich je genommen habe. Wie du das ganze auf Definitheit untersuchst ist dann dir überlassen. Es geht über die Definition direkt, oder auch über die Eigenwerte oder Hürwitz Kriterium. Also sehe ich keinen Grund nach einer anderen Methode zu suchen.
Wenn die Hessematrix nur semi-definit ist heißt das, dass es eine Richtung gibt in der der Gradient konstant bleibt und somit hast du entweder nur eine Art Wendepunkt oder ein konstantes Plateau oder sowas.
> 2)
>
> Gesetz den Fall ich habe eine beliebig oft differenzierbare
> Funktion
>
> [mm]f:\IR^2\to\IR, (x,y) \mapsto f(x,y)[/mm].
>
> Statt nun ein Extremum über den oben genannten Ansatz
> bestimmen zu versuchen, könnte ich auch erst für jedes
> feste [mm]\overline{y}[/mm] die Funktion
>
> [mm]g(x):=f(x,\overline{y})[/mm]
>
> auf Extrema über [mm]x=x(\overline{y})[/mm] untersuchen, dieses
> dann in [mm]f[/mm] einsetzen und dann ein Extremum über [mm]y[/mm]
> bestimmen? Also das mehrdimensionale Problem auf mehrere 1d
> Probleme herunterbrechen? Wenn ich z. B. sowohl über [mm]x[/mm] als
> auch über [mm]y[/mm] ein Minimum habe, müsste ich doch auch über
> [mm](x,y)[/mm] ein Minimum haben, oder?
>
Die Frage ist wie du das ganze für jedes y untersuchst. y soll doch aus dem [mm] \IR [/mm] sein und der ist unendlich. Also das habe ich leider nicht wirklich verstanden was du da machen willst.
Die Methode der Wahl ist ja den Gradienten auf Nullstellen zu untersuchen.
Also einmal [mm] $\partial_x [/mm] f(x,y)=0$ (hier tust du ja so als wäre y konstant und kannst damit eventuell ein y(x) oder x(y) finden, was das erfüllt, Vorrausgesetzt die Gestalt der Gleichung lässt eine explizite Umstellung zu) und dann setzt kannst du das ja in [mm] $\partial_y [/mm] f(x,y)$ einsetzen. Ist das etwa das was du meinst?
Schönen Gruß
Max
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:47 So 16.05.2010 | | Autor: | Edem |
Hallo Max,
vielen Dank für deine Antwort! Ich habe gemerkt, dass ich mich wohl etwas undeutlich ausgedrückt habe. Deswegen versuche ich mich noch einmal etwas besser zu erklären:
Zu 1)
Wie ich das (hinreichende) Kriterium zur Berechnung von Extrema im Mehrdimensionalen anwende, habe ich verstanden. Man setzt den Gradienten Null und setzt die ggf. gefundenen kritischen Stellen in die Hesse-Matrix ein und prüft, ob sie positiv definit, negativ definit oder indefinit ist. In jedem der drei Fälle kann man dann eine Aussage treffen.
Ich interessiere mich aber ausdrücklich für den Fall, wo die Hesse-Matrix semi-definit ist. Man kann in diesem Fall ziemlich schnell Beispiele konstruieren, an denen man erkennt, dass sich mit obigem Kriterium im Allgemeinen keine Aussagen machen lassen. Und für diesen Fall frage ich mich nun, ob es (andere) Methoden oder Kriterien gibt, wie man nun herausfinden kann, ob es sich z. B. um ein Extremum oder kein Extremum handelt. Gibt es vielleicht ein paar andere Ansätze, mit denen man die kritischen Punkte nun untersuchen kann?
Das heißt: Ich frage nicht nach einer neuen Methode anstelle des "Standardweges" (über Gradienten und Hesse-Matrix), sondern nach einer Methode für den Fall, dass man den Standardweg nicht anwenden kann.
Zu 2)
Vielleicht wird es mit einem Beispiel deutlicher:
Sei [mm] $f(x,y)=cos(x+y)-x^2$,
[/mm]
für [mm] $-1\le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] 1$.
a) Der "Standardweg":
Setzt man den Gradienten Null, erhält man die kritischen Punkte [mm] $x_E=y_E=0$. [/mm] Da die Hessematrix an diesen Stellen,
[mm] $\pmat{ -3 & -1 \\ -1 & -1 }$,
[/mm]
negativ definit ist, können wir folgern, dass wir ein striktes lokales Maximum gefunden haben.
b) Ein anderer Weg:
Ich wähle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ fest, aber beliebig. Um das deutlich zu machen, setze ich einen Strich drüber, [mm] $\overline{x}$. [/mm] Wenn ich nun
[mm] $g(y):=f(\overline{x},y)=cos(\overline{x}+y)-\overline{x}^2$
[/mm]
ableite, wird $g$ für [mm] $y_{max}=-\overline{x}$ [/mm] maximal. Nun untersuche ich
[mm] $h(x):=f(x,y_{max}=-x) [/mm] = 1 [mm] -x^2$.
[/mm]
Dies wird maximal für $x=0$, das heißt (wegen $y=-x$) auch $y=0$. Somit habe ich auf andere Weise herausgefunden, dass $(0,0)$ ein Maximum ist.
Meine Frage: Für dieses Beispiel hat es geklappt, aber ist dies auch im Allgemeinen der Fall? Bislang konnte ich kein Gegenbeispiel konstruieren. Oder ist diese Vorgehensweise des komponentenweise Optimierens nur unter bestimmten Voraussetzungen an die Funktion $f$ richtig?
Ich hoffe, ich habe mein Problem jetzt klarer dargestellt. Falls nicht, fragt einfach noch einmal nach.
Liebe Grüße,
Edem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 21.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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