Extrema konvexer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | | Eine streng konvexe Funktion hat kein lokales Maximum und höchstens ein lokales Minimum, und ein lokales Minimum ist ein globales Minimum. |
Hallo, Aufgabe ist es nun obige Behauptung zu beweisen.
Für die Konvexität von f wissen wir:
Für alle $a,b [mm] \in \IR^n$, [/mm] wobei [mm] $a\not=b$ [/mm] heißt die Funktion [mm] $f:\IR^n ->\IR$ [/mm] streng konvex, wenn die Ungleichung gilt:
$f((1-t)a+tb)<(1-t)f(a)+tf(b)$ für alle $t [mm] \in [/mm] (0,1)$
Jetzt ist mir klar, was diese Definition auch anschaulich zu bedeuten hat - aber ich weiß nicht genau, wie ich diese Def. nun auf die Extrema anwenden soll.
Außerdem denke ich das der letzte Schritt so eine Art Eindetigkeitsbwéweis sein sollte!
Kann mir bitte jemand einen Tipp zur Aufgabe geben oder eine Idee?
Vielen Dank schonmal
Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Ich sehe gerade, dass das Thema hier falsch reingestellt ist - es handelt sich um ein mehrdimensionales problem - könnte das bitte jemand verschieben?
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 20.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
kanns sein, dass du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast?
Denn eine streng konvexe Funktion hat im Allgemeinen KEIN lokales Maximum, einfachstes Gegenbeispiel $f(x) = [mm] x^2$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Oh ja in der Tat - hatte das ,,K"(-ein) vergessen...
danke und auch noch danke fürs verschieben
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Na dann wollen wir mal:
Fangen wir mal an mit: Wann hat eine Funktion von $f: [mm] \IR^n \to [/mm] R$ ein lokales Minimum // Maximum?
Wenn du dir jetzt anguckst, wann ein Minimum // Maximum vorliegt und was du dafür prüfen musst, über was weißt du bereits etwas, wenn f streng konvex ist?
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Also:
Ein lokales Minimum liegt vor, wenn $Df|a=0$ und [mm] $D^{(2)}f|a=0$ [/mm] positiv definit ist, die Hesse-Matrix also nur pos. EW enthält.
Ein lokales Maximum liegt vor, wenn $Df|a=0$ und [mm] $D^{(2)}f|a=0$ [/mm] negativ definit ist, die Hesse-Matrix also nur neg. EW enthält.
Nun zu der Frage, was ich aufgrund der strengen Konvexität weiß:
Da würde mir nur einfallen, dass ich weiß, dass für f ein Infimum existiert, da es konvex für [mm] $t\in [/mm] (0,1)$ ist.
Also befindet sich im betrachteten Intervall bereits ein Infimum(was ja noch nicht heißt, dass ein Minimum existiert!).
Mehr würde mir da jetzt aber noch nicht einfallen.
Grüsse Torste
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Huhu,
also entweder habt ihr es bewiesen, oder versuch es mit Taylor-Entwicklung zu beweisen:
$f [mm] \text{ streng konvex }\gdw [/mm] D^2f > 0$ (d.h. positiv definit).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Wir sollten das nur auf unserem Aufgabenblatt selber beweisen mit positiv semi-defniit und ,,normaler" Konvexität!
Kann es sein, dass das gar keine Äquivalenz ist, sondern nur in die Rückrichting gilt( wobei wir die Hinrichtung ja gerade bräuchten) - ich meine ich habe da mal was gelesen, dass das z.B für [mm] f=x^4 [/mm] so nicht gilt!?
Torste
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Huhu,
also, das mit [mm] \gdw [/mm] gilt wirklich nur bei konvex und [mm] \le, [/mm] weil sonst die Hinrichtung kaputt geht, da hast du recht.
Dann anders:
Sei [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum, dann gilt ja
Einerseits: [mm] $f(x_0) \ge f(x_0 \pm [/mm] h)$
Und damit:
[mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}f(x_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}f(x_0) \ge \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}$f(x_0 [/mm] - h)
Andererseits: [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{2}(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}(x_0 [/mm] - h)) < [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] - h)$
Naja.... steht ja schon alles da 
Dabei fiel mir auf, dass in deiner Aufgabe bei strikt konvex ein [mm] \le [/mm] steht, wobei da dann wirklich ein < stehen muss
Beim lokalen Minimum nutze die Konvexität um zu zeigen, dass dann auch alle anderen Punkte größer sind als dein Minimum.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Die Schlussfolgerung für das maximum wäre natürlich super, aber warum gilt:
[mm] $f(\bruch{1}{2}(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}(x_0 [/mm] - h)) < [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] - h) $
Müste das nicht so lauten:
$ [mm] f(\bruch{1}{2}(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}(x_0 [/mm] - h)) > [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] + h) + [mm] \bruch{1}{2}f(x_0 [/mm] - h) $
Wie kommt man darauf?
Dankende Grüsse Tortse
(Ich mache mir schonmal Gedanken zum Minimum!)
EDIT: Die Ungleichung habe ich verbessert!
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> Die Schlussfolgerung für das maximum wäre natürlich
> super, aber warum gilt:
> [mm]f(\bruch{1}{2}(x_0 + h) + \bruch{1}{2}(x_0 - h)) < \bruch{1}{2}f(x_0 + h) + \bruch{1}{2}f(x_0 - h)[/mm]
Schau mal die Definition von Strikt konvex an 
> Müste das nicht so lauten:
> [mm]f(\bruch{1}{2}(x_0 + h) + \bruch{1}{2}(x_0 - h)) > \bruch{1}{2}f(x_0 + h) + \bruch{1}{2}f(x_0 - h)[/mm]
Naja, wenn [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum wäre, würde da [mm] \ge [/mm] gelten, das verwenden wir ja bei der ersten Gleichung.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Aaaahhhhh...das ist klasse. Ja - sonst wäre es echt zweimal das gleiche - supi!
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Dann würde ich jetzt so anfangen:
sei [mm] $x_o$ [/mm] ein lokales, aber kein golbales Minimum, dann existiert ein [mm] $x_0\pm [/mm] h$, sodass [mm] $f(x_0\pm [/mm] h) < [mm] f(x_0)$, [/mm] dann gilt:
[mm] f(x_0+t(x_0-x_0\pm h))\lef(x_0)+t(f(x_0\pm h)-f(x_0))
Das wäre ja ein Widersprich, weil es dann kein lok. Minimum ist.
Wäre das gut?
Habe ich damit auch schon gezeigt, dass höchstens ein lok. Minimum existieret? Weil eigentlich zeigt das ja nur, dass jedes Minimum ein globales ist!?
Grüsse Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 So 20.06.2010 | | Autor: | Torste |
Kann sich das mal bitte jemand anschauen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Torste |
Auch wenn die Frage jetzt überfällig ist, würde ich mich freuen, wenn nochmal jemand ein KOmmentar zu meinem letzten Beitrag abgeben könnte!!
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann würde ich jetzt so anfangen:
> sei [mm]x_o[/mm] ein lokales, aber kein golbales Minimum, dann
> existiert ein [mm]x_0\pm h[/mm], sodass [mm]f(x_0\pm h) < f(x_0)[/mm], dann
Ersetze das [mm] $\pm$ [/mm] durch $+$!
> gilt:
>
> [mm]f(x_0+t(x_0-x_0\pm h))\le f(x_0)+t(f(x_0\pm h)-f(x_0))
Hier gilt $t [mm] \in [/mm] (0, 1)$, und das erste [mm] $\le$ [/mm] ist ein $<$.
> Das wäre ja ein Widersprich, weil es dann kein lok.
> Minimum ist.
Und zwar wenn $t$ gegen 0 geht.
> Wäre das gut?
Ja.
> Habe ich damit auch schon gezeigt, dass höchstens ein
> lok. Minimum existieret? Weil eigentlich zeigt das ja nur,
> dass jedes Minimum ein globales ist!?
Nun, du hast nicht benoetigt, dass [mm] $f(x_0\pm [/mm] h) < [mm] f(x_0)$ [/mm] ist, sondern nur, dass [mm] $f(x_0\pm [/mm] h) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] ist.
Damit folgt, dass jedes lokale Minimum das einzige globale Minimum ist: erstmal wuerden alle lokalen Minima globale sein, und zwei davon muessten die gleiche "Hoehe" haben -- was wiederum wie oben zum Widerspruch fuehrt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 22.06.2010 | | Autor: | Torste |
Also um nochmal sicher zu gehen:
Ich bin also fertig?
Danke vielmals
Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Torste!
> Also um nochmal sicher zu gehen:
>
> Ich bin also fertig?
Wenn du die fehlende Argumentation hinzufuegst, ja.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:23 Di 22.06.2010 | | Autor: | Torste |
mmhh...dann habe ich noch nicht genau verstanden was du damit meintest:
,,und zwei davon muessten die gleiche "Hoehe" haben -- was wiederum wie oben zum Widerspruch fuehrt. " - ich vermute du spielst auf diesen Teil an, oder!?
Ich muss ja auch noch irgendwei zeigen, dass es höchstesn ein Minimum gibt, dass ist ja nicht damit getan das es das EINZIGE ist - man muss ja noch zeigen, dass es auch garkeines geben kann...
Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 25.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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