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Hallo zusammen,
ich hab mal wieder eine Extrema-Aufgabe  angefangen und hab dazu zwei Fragen. Man soll den Abstand des Punktes [mm]P=(2*\wurzel{2}, \bruch{5}{\wurzel{2}},0) [/mm] zur Oberfläche des Ellipsoids [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3 |\ (\bruch{x}{2})^2+y^2+z^2 \leq 1 \}[/mm] bestimmen.
Ansatz: Minimierung von [mm]\parallel P-A \parallel[/mm] mit Nebenbedingung [mm]A \in E[/mm], also der Einfachheit halber Minimierung von
[mm]f: (x,y,z) \to (2\wurzel{2}-x)^2+(\bruch{5}{\wurzel{2}}-y)+z^2[/mm]
mit NB-Funktion
[mm]g:(x,y,z) \to \bruch{x}{2})^2+y^2+z^2 - 1 [/mm].
Jetzt wieder Lagrange:
[mm]\nabla f = \lambda* \nabla g[/mm], es ist also das Gleichungssystem
I. [mm] \bruch{x}{2})^2+y^2+z^2=1[/mm]
II. [mm] 2*(x-2*\wurzel{2})=\lambda*\bruch{x}{2}[/mm]
III.[mm] 2*(y-\bruch{5}{\wurzel{2}})=\lambda*2y[/mm]
IV.[mm]2z=\lambda*2z[/mm]
zu lösen.
Es folgt z=0, da [mm]\lambda=1[/mm] zu Widerspruch in (III) führt. Aber wie geht es dann weiter ? Ich hab da jetzt schon viel ausprobiert, komme aber auf keine Lösung. :-(
Und die zweite Frage: Maple liefert mit zu dem GS nur eine Lösung! Aber es müssten doch mindestens 2 Lösungen rauskommen, da es ein globales Min. und Max. geben muss (wegen Kompaktheit von [mm]g^{-1}(\{0\})[/mm] und Stetigkeit von f) Das kommt mir komisch vor...
vielen Dank schon mal,
mfg
Daniel
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Hallo danielinteractive,
> Hallo zusammen,
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> ich hab mal wieder eine Extrema-Aufgabe angefangen und
> hab dazu zwei Fragen. Man soll den Abstand des Punktes
> [mm]P=(2*\wurzel{2}, \bruch{5}{\wurzel{2}},0)[/mm] zur Oberfläche
> des Ellipsoids [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3 |\ (\bruch{x}{2})^2+y^2+z^2 \leq 1 \}[/mm]
> bestimmen.
> Ansatz: Minimierung von [mm]\parallel P-A \parallel[/mm] mit
> Nebenbedingung [mm]A \in E[/mm], also der Einfachheit halber
> Minimierung von
> [mm]f: (x,y,z) \to (2\wurzel{2}-x)^2+(\bruch{5}{\wurzel{2}}-y)+z^2[/mm]
>
> mit NB-Funktion
> [mm]g:(x,y,z) \to \bruch{x}{2})^2+y^2+z^2 - 1 [/mm].
>
> Jetzt wieder Lagrange:
> [mm]\nabla f = \lambda* \nabla g[/mm], es ist also das
> Gleichungssystem
> I. [mm]\bruch{x}{2})^2+y^2+z^2=1[/mm]
> II. [mm]2*(x-2*\wurzel{2})=\lambda*\bruch{x}{2}[/mm]
> III.[mm] 2*(y-\bruch{5}{\wurzel{2}})=\lambda*2y[/mm]
>
> IV.[mm]2z=\lambda*2z[/mm]
> zu lösen.
>
> Es folgt z=0, da [mm]\lambda=1[/mm] zu Widerspruch in (III) führt.
> Aber wie geht es dann weiter ? Ich hab da jetzt schon viel
> ausprobiert, komme aber auf keine Lösung. :-(
Löse z.B. Gleichung III nach y und Gleichung II nach x auf. Und setze die x- und y-Werte in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm] in Gleichung I ein. Dann bekommst Du eine Gleichung für [mm]\lambda[/mm].
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> Und die zweite Frage: Maple liefert mit zu dem GS nur eine
> Lösung! Aber es müssten doch mindestens 2 Lösungen
> rauskommen, da es ein globales Min. und Max. geben muss
> (wegen Kompaktheit von [mm]g^{-1}(\{0\})[/mm] und Stetigkeit von f)
> Das kommt mir komisch vor...
Es kommen auch zwei Lösungen heraus.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke für deinen Tipp. Die Gleichung mit Grad 4, die dann entsteht, kann man ja eigentlich auch nicht von Hand lösen (nur eine Lösung erraten), aber so komme ich wenigstens auf die 2. Lösung. Komisch, dass Maple mir die mit "solve..." nicht anzeigen wollte...
mfg
Daniel
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