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| Aufgabe | | Mit der Methode von Lagrange soll das Minimum von [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] (x-3)^2 +(y-5)^2 [/mm] =1 gefunden werden. |
Lösungsansatz:
1. [mm] (x-3)^2 +(y-5)^2 [/mm] -1=0
2.Hilfskunktion bilden: [mm] x^2+y^2 +\lambda ((x-3)^2+(y-5)^2-1)
[/mm]
3.Fx = 0
d.h. [mm] 2x+2\lambda(x-3) [/mm] =0
[mm] \lambda [/mm] = -(x/(x-3))
ist dieser Ansatz richtig??
Wie muss ich dann weiter vorgehen,wenn ich die weiteren partiellen Ableitungen gemacht habe???
Gruß Tobbster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobbster81,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Mit der Methode von Lagrange soll das Minimum von
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm] unter der Nebenbedingung [mm](x-3)^2 +(y-5)^2[/mm] =1
> gefunden werden.
> Lösungsansatz:
> 1. [mm](x-3)^2 +(y-5)^2[/mm] -1=0
> 2.Hilfskunktion bilden: [mm]x^2+y^2 +\lambda ((x-3)^2+(y-5)^2-1)[/mm]
> 3.Fx = 0
> d.h. [mm]2x+2\lambda(x-3)[/mm] =0
> [mm]\lambda[/mm] = -(x/(x-3))
>
> ist dieser Ansatz richtig??
Fast. In 2. hast du die Nebenbedingung angekoppelt und betrachtest nun in 3. den Gradienten [mm] \nabla F(x,y,\lambda), [/mm] den du Null setzt. Dabei entstehen drei Gleichungen:
(a) [mm] 2x+2\lambda(x-3)=0
[/mm]
(b) [mm] 2y+2\lambda(y-5)=0
[/mm]
(c) [mm] (x-3)^2+(y-5)^2-1=0
[/mm]
Dieses Gleichungssystem musst du nun lösen.
LG
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Irgendwie fehlt mir die Idee...:-(
Löse man die Gleichungen nicht so auf,wie ich es in Schritt 3. gemacht habe???
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> Irgendwie fehlt mir die Idee...:-(
>
> Löse man die Gleichungen nicht so auf,wie ich es in
> Schritt 3. gemacht habe???
Ja, und weiter?
Es gibt noch weitere Gleichungen zu bearbeiten.
LG
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[mm] Fy=2y+2\lambda(y-5)= [/mm] 0
[mm] \lambda [/mm] = -(y/(y-5))
[mm] F\lambda [/mm] = [mm] (x-3)^2+(y-5)^2-1=0
[/mm]
[mm] F\lambda =(x-3)^2 [/mm] = [mm] 1-(y-5)^2
[/mm]
richtig??
Wie muss ich dann vorgehen??
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Hallo Tobbster81,
> [mm]Fy=2y+2\lambda(y-5)=[/mm] 0
>
> [mm]\lambda[/mm] = -(y/(y-5))
>
> [mm]F\lambda[/mm] = [mm](x-3)^2+(y-5)^2-1=0[/mm]
> [mm]F\lambda =(x-3)^2[/mm] = [mm]1-(y-5)^2[/mm]
>
> richtig??
> Wie muss ich dann vorgehen??
Löse z.B. die Gleichungen
[mm]2x+2\lambda(x-3) =0[/mm]
und
[mm]2y+2\lambda(y-5)=0[/mm]
nach [mm]\lambda[/mm] auf und setze diese [mm]\lambda[/mm]'s gleich.
Dann bekommst Du eine Abhängigkeit y von x.
Setze diese Abhängigkeit in die 3. Gleichung ein
und löse auf nach x.
Gruss
MathePower
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