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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema ohne D-Rechnung
Extrema ohne D-Rechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extrema ohne D-Rechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Fr 20.01.2017
Autor: Trikolon

Hallo, es geht um Extrema von z.B. der Funktion
[mm] f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2. [/mm] Mein Frage: Kann man sowas auch ohne Gradient, Hesse-Matrix usw. lösen?
In [mm] \IR [/mm] kann man ja Extrema von manchen Fktnen auch ohne Differenzialrechnung bestimmen. Geht sowas hier auch?

        
Bezug
Extrema ohne D-Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, es geht um Extrema von z.B. der Funktion
> [mm]f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2.[/mm] Mein Frage: Kann man sowas
> auch ohne Gradient, Hesse-Matrix usw. lösen?
> In [mm]\IR[/mm] kann man ja Extrema von manchen Fktnen auch ohne
> Differenzialrechnung bestimmen. Geht sowas hier auch?

Im Sinne einer Methode: nein. Das geht schon in [mm] \IR [/mm] nicht methodisch. Dort, wo solche Extremwertprobleme historisch schon vor Leibniz, Newton&Co. gelöst wurden, lief es entweder auch schon über Grenzzwertbetrachtungen oder über Ungleichungen (auch über die Anwendung bekannter Ungleichungen).

Für die gepostete Funktion halte ich es u.U. für möglich, den Funktionsterm so umzuformen, dass man nach unten abschätzen kann.

Ich selbst habe bei der Suche nach einer solchen Lösung zunächst aufgegeben und bin auf andere Art und Weise auf die Lösungen gestoßen. Ich habe das GS

[mm] f_x=0 [/mm]
[mm] f_y=0 [/mm]

durch Faktorisieren gelöst, was ich aber in diesem Fall als Zufallstreffer ansehe. Denn zunächst führt dieses Gleichungssystem auf eine Gleichung 9. Ordnung (von der man sich jedoch hier nicht abschrecken lassen sollte).


Gruß, Diophant

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Extrema ohne D-Rechnung: latente Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Fr 20.01.2017
Autor: Roadrunner

Hallo!


Man kann den Funktionsterm wie folgt umformen:

$f(x,y) \ = \ [mm] x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2 [/mm] \ = \ [mm] x^4+y^4-2*(x+y)^2$ [/mm]

Aber ich muss gestehen, der weitere Weg verschließt sich mir noch. [kopfkratz]
Aber vielleicht inspiriert das ja andere. ;-)


Gruß vom
Roadrunner

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Extrema ohne D-Rechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Man kann den Funktionsterm wie folgt umformen:
> [mm]f(x,y) \ = \ x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2 \ = \ x^4+y^4-2*(x+y)^2[/mm]

>

> Aber ich muss gestehen, der weitere Weg verschließt sich
> mir noch. [kopfkratz]
> Aber vielleicht inspiriert das ja andere. ;-)

Diese Form des Funktionsterms eignet sich zumindest dafür, das lokale Maximum in (0,0,0) zu begründen.

Nein, das war falsch. Dennoch ist die Version nützlich, wie die Beiträge von abakus und Fred zeigen.

Gruß, Diophant

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Extrema ohne D-Rechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Fr 20.01.2017
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> > Man kann den Funktionsterm wie folgt umformen:
>  > [mm]f(x,y) \ = \ x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2 \ = \ x^4+y^4-2*(x+y)^2[/mm]

>  
> >
>  > Aber ich muss gestehen, der weitere Weg verschließt

> sich
>  > mir noch. [kopfkratz]

>  > Aber vielleicht inspiriert das ja andere. ;-)

>  
> Diese Form des Funktionsterms eignet sich zumindest dafür,
> das lokale Maximum in (0,0,0) zu begründen.
>  
> Gruß, Diophant

...und er eignet sich wegen der Austauschbarkeit von x und y zu der Aussage, dass wenn (x|y) eine Extremstelle ist, auch (y|x) eine Extremstelle sein muss, ebenso wie auch (-x|-y).

Ich würde jetzt die Möglichkeiten x=y und x=-y gesondert untersuchen.

(Ein Übergang zu Polarkoordinaten kann auch nicht schaden.)
Gruß Abakus

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Extrema ohne D-Rechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Fr 20.01.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Man kann den Funktionsterm wie folgt umformen:
>  > [mm]f(x,y) \ = \ x^4+y^4-2x^2-4xy-2y^2 \ = \ x^4+y^4-2*(x+y)^2[/mm]

>  
> >
>  > Aber ich muss gestehen, der weitere Weg verschließt

> sich
>  > mir noch. [kopfkratz]

>  > Aber vielleicht inspiriert das ja andere. ;-)

>  
> Diese Form des Funktionsterms eignet sich zumindest dafür,
> das lokale Maximum in (0,0,0) zu begründen.

Hallo Diophant,

ich muss Dir leider widersprechen.

Wir haben

[mm] $f(x,x)=2x^4-8x^2=2x^2(x^2-4) [/mm] < 0=f(0,0)$ für $0<|x| < 2$

und

[mm] $f(x,-x)=2x^4 [/mm] > 0=f(0,0)$ für alle $x [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm]

In jeder Umgebung von (0,0) nimmt f also Funktionwerte > f(0,0) und auch Funktionwerte < f(0,0) an.

Damit hat f in (0,0) kein relatives Extremum.


>  
> Gruß, Diophant


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Extrema ohne D-Rechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

ja, da ist mir ein Fehler unterlaufen (und ich bin offensichtlich auf einen fehlerhaften Funktionenplot hereingefallen).
Ich werde meine obigen Beiträge entsprechend anpassen und bedanke mich für den Hinweis.

Nachtrag: in (0,0) ist die Hesse-Matrix negativ semidefinit, dies nur der Vollständigkeit halber.

Gruß, Diophant

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Extrema ohne D-Rechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Fr 20.01.2017
Autor: Trikolon

Also es ist ja [mm] f_x=4x^3-4x-4y [/mm] und [mm] f_y=4y^3-4x-4y [/mm]

Wenn ich jetzt die Gleichungen 0 setze und [mm] f_y-f_x [/mm] berechne erhalte ich ja x=y. D.h. doch in allen Punkten (x,x) liegt entweder ein Extremum oder ein Sattelpunkt vor, oder?

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Extrema ohne D-Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Fr 20.01.2017
Autor: leduart

Hallo
Mit der Umformung siehst du direkt: auf der Geraden x+y=0 steigt die Fläche nur. auf der Geraden x-y=0 fällt sie in der Umgehung von 0, also bei 0 ein Sattel. Weiter es muss ein Minimum zwischen x=y=0 und x=y=2 geben, bei 0 ist die fkt negativ, bei 2 wieder 0
aus Symmetriegründen muss das Min auf x=y liegen also hat man [mm] 2*x^4-2x^2 [/mm] und davon ein Minimum  also bei [mm] x=\sqrt(2)/2 [/mm]
Edit, wie Diophant richtig sagt ist es bei x= [mm] \pm \sqrt(2) [/mm] die 1/2 waren ein Tipfehler
alles ohne differenzieren. die Funktion ist aber auch sehr speziell.
Gruß leduart

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Extrema ohne D-Rechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Fr 20.01.2017
Autor: abakus

Hallo leduart,
vergiss nicht die zweite Möglichkeit mit einem "-"davor.

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Extrema ohne D-Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 19:43 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo leduart,

da muss noch ein Rechenfehler stecken. Laut meiner Lösung, die ich per CAS überprüft habe, liegen die beiden Minima bei [mm] (\sqrt{2},\sqrt{2}) [/mm] sowie bei [mm] (-\sqrt{2},-\sqrt{2}). [/mm]

Gruß, Diophant

PS: Ja, eine spezielle Funktion ist es, und eben dies macht die Aufgabe so interessant.

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