Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe 1 | | An welcher Stelle nimmt die Funktion f(x,y,z) = 5x - 2y + 7z unter der Nebenbedingung [mm]x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm] ihren kleinsten Wert an? |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte der Funktion f(x,y,z) := [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] unter den Nebenbedingungen
(i) [mm]x + y + z = 0[/mm]
(ii)[mm] (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9[/mm] |
Zu Aufgabe 1:
Einsetzen der Nebenbedingung [mm]x^2 + 4z^2 -9 = -2y[/mm] in die Funktion liefert: [mm]f(x,y,z) = x^2 + 5x + 4z^2 + 7z - 9[/mm]
Die zweiten partiellen Ableitungen ergeben die Hesse-Matrix [mm]H_f(a) = \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8}[/mm],
deren charakteristisches Polynom wiederum die Eigenwerte 0,2,8. Damit ist die Matrix indefinit in allen Punkten a und die Funktion hat somit in dieser Nebenbedingung keine Extrema, erst recht kein Minimum.
Das widerspricht der Aufgabenstellung, wo ist mein Fehler?
Zu Aufgabe 2:
Wenn ich hier die zweite Nebenbedingung in die Funktion einsetze, fliegen alle Variablen außer x raus. Ich erhalte:
[mm]f(x,y,z) = x^2 + 9 - (x-3)^2 = 6x[/mm]
Wenn ich hier noch die zweite Nebenbedingung einsetze, steht da:
[mm]f(x,y,z) = -6y-6z[/mm]
Dass die Hesse-Matrix die Null-Matrix ist, dafür brauche ich nicht einmal zu rechen. Das sieht man ja schon am Grad der Funktion. Wieder keine Extrema.
Ergo scheint an meinem Weg etwas gewaltig nicht zu stimmen. Zumindest der Nebensatz im Skript, dass man, wenn man die Nebenbedingungen, so sie nach einer Variablen auflösbar seien, auch in die Funktion einsetzen könne, um dann die Extrema "klassisch" zu bestimmen, scheint mir jetzt sehr fragwürdig.
Liegt der Fehler bei diesem Ansatz bei mir oder sollte ich doch lieber auf Lagrange & Co. zurückgreifen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> An welcher Stelle nimmt die Funktion f(x,y,z) = 5x - 2y +
> 7z unter der Nebenbedingung [mm]x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm] ihren
> kleinsten Wert an?
> Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte der Funktion
> f(x,y,z) := [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] unter den Nebenbedingungen
> (i) [mm]x + y + z = 0[/mm]
> (ii)[mm] (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9[/mm]
> Zu Aufgabe
> 1:
> Einsetzen der Nebenbedingung [mm]x^2 + 4z^2 -9 = -2y[/mm] in die
> Funktion liefert: [mm]f(x,y,z) = x^2 + 5x + 4z^2 + 7z - 9[/mm]
> Die
> zweiten partiellen Ableitungen ergeben die Hesse-Matrix
> [mm]H_f(a) = \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8}[/mm],
> deren charakteristisches Polynom wiederum die Eigenwerte
> 0,2,8. Damit ist die Matrix indefinit in allen Punkten a
> und die Funktion hat somit in dieser Nebenbedingung keine
> Extrema, erst recht kein Minimum.
> Das widerspricht der Aufgabenstellung, wo ist mein Fehler?
die Hesse-Matrix $ [mm] H_f(a) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8} [/mm] $ ist nicht indefinit !! Sie ist positiv semidefinit !
Zur Erinnerung: eine symmetrische Matrix ist indefinit [mm] \gdw [/mm] sie besitzt einen positiven und einen negativen Eigenwert
FRED
>
> Zu Aufgabe 2:
> Wenn ich hier die zweite Nebenbedingung in die Funktion
> einsetze, fliegen alle Variablen außer x raus. Ich erhalte:
> [mm]f(x,y,z) = x^2 + 9 - (x-3)^2 = 6x[/mm]
> Wenn ich hier noch die
> zweite Nebenbedingung einsetze, steht da:
> [mm]f(x,y,z) = -6y-6z[/mm]
> Dass die Hesse-Matrix die Null-Matrix
> ist, dafür brauche ich nicht einmal zu rechen. Das sieht
> man ja schon am Grad der Funktion. Wieder keine Extrema.
>
> Ergo scheint an meinem Weg etwas gewaltig nicht zu stimmen.
> Zumindest der Nebensatz im Skript, dass man, wenn man die
> Nebenbedingungen, so sie nach einer Variablen auflösbar
> seien, auch in die Funktion einsetzen könne, um dann die
> Extrema "klassisch" zu bestimmen, scheint mir jetzt sehr
> fragwürdig.
>
> Liegt der Fehler bei diesem Ansatz bei mir oder sollte ich
> doch lieber auf Lagrange & Co. zurückgreifen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Wo du Recht hast, hast du Recht. Ärgerliche "Vokabel-Schwäche" meinerseits. Ich hatte im Hinterkopf positiv definit, wenn der kleinste Eigenwert größer null ist, negativ definit, wenn der größte kleiner null ist... also muss es indefinit sein.
Blöder Fehler. Gar nicht an semidefinit gedacht.
Allerdings kann ich mir den Grund dafür recht einfach erklären: Das Kriterium für Extrema greift nur für positiv, negativ und indefinit... somit ist hier keine Aussage zu treffen, oder?
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> An welcher Stelle nimmt die Funktion f(x,y,z) = 5x - 2y +
> 7z unter der Nebenbedingung [mm]x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm] ihren
> kleinsten Wert an?
> Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte der Funktion
> f(x,y,z) := [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] unter den Nebenbedingungen
> (i) [mm]x + y + z = 0[/mm]
> (ii)[mm] (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9[/mm]
> Zu Aufgabe
> 1:
> Einsetzen der Nebenbedingung [mm]x^2 + 4z^2 -9 = -2y[/mm] in die
> Funktion liefert: [mm]f(x,y,z) = x^2 + 5x + 4z^2 + 7z - 9[/mm]
Hallo,
hier ist die Stelle, die Dir Scherereien macht.
Du ersetzt ja die Variable y mithilfe der Nebenbedingung in dem Ansinnen, die Aufgabe "klassisch" zu lösen.
Übrig bleibt eine Funktion, die nur noch von x und z abhängt, als f(x,z)= [mm] x^2 [/mm] + 5x + [mm] 4z^2 [/mm] + 7z - 9,
und wenn Du nun den gewohnten Weg gehst, ist Deine Hessematrix auf herrlichste Weise positiv definit.
Untersuche unter diesem Aspekt auch mal Dein Treiben bei der 2. Aufgabe.
Bedenke auch: Nullmatrix bedeutet ja nicht, daß es kein Extremum gibt.
Gruß v. Angela
> Die
> zweiten partiellen Ableitungen ergeben die Hesse-Matrix
> [mm]H_f(a) = \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8}[/mm],
> deren charakteristisches Polynom wiederum die Eigenwerte
> 0,2,8. Damit ist die Matrix indefinit in allen Punkten a
> und die Funktion hat somit in dieser Nebenbedingung keine
> Extrema, erst recht kein Minimum.
> Das widerspricht der Aufgabenstellung, wo ist mein Fehler?
>
> Zu Aufgabe 2:
> Wenn ich hier die zweite Nebenbedingung in die Funktion
> einsetze, fliegen alle Variablen außer x raus. Ich erhalte:
> [mm]f(x,y,z) = x^2 + 9 - (x-3)^2 = 6x[/mm]
> Wenn ich hier noch die
> zweite Nebenbedingung einsetze, steht da:
> [mm]f(x,y,z) = -6y-6z[/mm]
> Dass die Hesse-Matrix die Null-Matrix
> ist, dafür brauche ich nicht einmal zu rechen. Das sieht
> man ja schon am Grad der Funktion. Wieder keine Extrema.
>
> Ergo scheint an meinem Weg etwas gewaltig nicht zu stimmen.
> Zumindest der Nebensatz im Skript, dass man, wenn man die
> Nebenbedingungen, so sie nach einer Variablen auflösbar
> seien, auch in die Funktion einsetzen könne, um dann die
> Extrema "klassisch" zu bestimmen, scheint mir jetzt sehr
> fragwürdig.
>
> Liegt der Fehler bei diesem Ansatz bei mir oder sollte ich
> doch lieber auf Lagrange & Co. zurückgreifen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Angela,
wenn ich auf gewohntem Wege rechne, erhalte ich eine positiv semidefinite Hesse-Matrix. Und zwar bei beiden Aufgaben. (hier hatte ich zuvor einen Denkfehler, aber ich glaube, der ist ausgeräumt)
Das ist ja noch kein Beinbruch, leider helfen mir aber die üblichen Kriterien in dem Fall nicht weiter, wenn es um Extremwerte geht.
Denn beispielsweise das wohl gängigste Kriterium (Minimum, wenn Hessematrix positiv definit, Maximum bei negativ definit, Sattelpunkt bei indefinit) trifft für Semidefinitheit erst gar keine Aussagen.
Wie könnte man hier weiter vorgehen?
Die Antwort auf diese Frage interessiert mich sehr, auch wenn Aufgabe 2 mittlerweile mithilfe von Lagrange-Operatoren in den Griff bekommen habe - und ich denke, dass ich auch Aufgabe 1 so einfach lösen kann. Immerhin könnte sie mir ja noch einmal in einer Prüfungssituation über den Weg laufen... 
liebe Grüße,
Tobias
P.S.: Im Prinzip könnte man den Status meiner Eingangsfrage jetzt als Beantwortet oder als "nur für Interessierte" markieren, da ich ja eine Lösung besitze. Wenn auch (noch) nicht auf dem ursprünglich angestrebten Lösungsweg.
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> wenn ich auf gewohntem Wege rechne, erhalte ich eine
> positiv semidefinite Hesse-Matrix.
Hallo,
nein, eine positiv definite.
Bedenke: wenn Du den vorgestellten Weg gehst, also Dich von der Variablen y trennst, dann hast Du es nur noch mit zwei variablen zu tun, Deine Hessematrix ist eine 2x2-Matrix.
Schau: f(x,y,z) = 5x - 2y + 7z , Nebenbedingung $ [mm] x^2 [/mm] + 2y + [mm] 4z^2 [/mm] = 9 $
[mm] -2y=x^2 [/mm] + [mm] 4z^2-9,
[/mm]
einsetzen in f liefert Dir eine Funktion, ich nenne sie jetzt mal g, die nur noch von zwei Variablen abhängt und nun zu optimieren ist:
[mm] g(x,z)=x^2+5x+4z^2+7z-9
[/mm]
Nun berechnest Du [mm] g_x [/mm] und [mm] g_y, [/mm] daraus den kritischen Punkt,
stellst die 2x2-Hessematrix auf: [mm] H_g(x,z)=\pmat{2&0\\0&8},
[/mm]
aus welcher Du erfährst, daß im kritischen Punkt ein Minimum ist.
Mit der NB berechnest Du nun die zugehörige y-Koordinate, und am Ende dann noch den zugehörigen Funktionswert.
Bzgl Aufg. 2 müßte ich erst nochmal mein schlaues Buch befragen, welches ich im Moment nicht zur Hand habe.
> Wie könnte man hier weiter vorgehen?
> Die Antwort auf diese Frage interessiert mich sehr, auch
> wenn Aufgabe 2 mittlerweile mithilfe von
> Lagrange-Operatoren in den Griff bekommen habe - und ich
> denke, dass ich auch Aufgabe 1 so einfach lösen kann.
Auf jeden Fall!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Mi 24.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Vielen Dank, Angela, für deine Mühe!
> einsetzen in f liefert Dir eine Funktion, ich nenne sie
> jetzt mal g, die nur noch von zwei Variablen abhängt und
> nun zu optimieren ist:
>
> [mm]g(x,z)=x^2+5x+4z^2+7z-9[/mm]
>
> Nun berechnest Du [mm]g_x[/mm] und [mm]g_y,[/mm] daraus den kritischen
> Punkt,
>
> stellst die 2x2-Hessematrix auf: [mm]H_g(x,z)=\pmat{2&0\\0&8},[/mm]
>
> aus welcher Du erfährst, daß im kritischen Punkt ein
> Minimum ist.
>
> Mit der NB berechnest Du nun die zugehörige y-Koordinate,
> und am Ende dann noch den zugehörigen Funktionswert.
Hier fehlte mir "der Mut", die y-Koordinate gänzlich aus der Funktion zu streichen, obwohl sie in keiner Weise mehr davon abhängt.
Mit der 2x2-Matrix, die natürlich positiv definit ist, ist mir alles klar. 
Vielen Dank. Damit führen beide Wege (und das auch noch nachvollziehbar) zum gleichen Ergebnis. Ist doch immer schön, ein paar Optionen in der Hinterhand zu haben.
liebe Grüße,
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Zu Aufgabe 2:
[mm]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2[/mm]
N1: [mm]g(x,y,z) = x+y+z[/mm]
N2: [mm]h(x,y,z) = (x-3)^2 + y^2 + z^2[/mm]
Ann: Es existieren Konstanten [mm]\lambda , \mu[/mm] mit grad f(x,y,z) = [mm]\lambda[/mm] grad g(x,y,z) + [mm]\mu[/mm] grad h(x,y,z).
[mm]\Rightarrow \vektor{2x\\2y\\2z} = \lambda\vektor{1\\1\\1} + \mu\vektor{2x-6\\2y\\2z}[/mm]
[mm]\Rightarrow x = \bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu} , y = z = \bruch{\lambda}{2-2\mu}[/mm]
Eingesetzt in die erste Nebenbedingung:
[mm]\bruch{\lambda - 6\mu}{2 - 2\mu} + \bruch{2\lambda}{2-2\mu} = 0 \gdw 2\lambda - 6\mu = 0 \gdw \lambda = 2\mu[/mm]
Eingesetzt in die zweite Nebenbedingung:
[mm](\bruch{-2\lambda}{2-2\mu} - 3)^2 + 2(\bruch{\lambda}{2-\lambda})^2 = 9 \gdw \bruch{4\lambda^2}{(2-\lamba)^2} + \bruch{6\lambda}{2-\lambda} + 9 + 2\bruch{\lambda^2}{(2-\lambda)^2} = 9 \gdw 6\lambda^2 + 12\lambda - 6\lambda^2 = 0 \gdw \lambda = 0 \Rightarrow \mu = 0 \Rightarrow x = y = z = 0[/mm]
Damit Erfüllt nur der Ursprung die notwendige Bedingung für ein Extremum. Die positiv semidefinite Hessematrix im Ursprung sagt nichts weiter aus, aber eine einfache Betrachtung der Funktion genügt für die Aussage, dass es sich um ein Minimum handelt:
Betrachte die [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um den Ursprung für ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] > 0. Sämtliche erhaltenen Funktionswerte in dieser Umgebung sind größer als f(0,0,0) = 0... das führe ich hier mal nicht genauer aus.
Ist mein Weg korrekt?
Schöne Grüße,
Tobias
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> Damit Erfüllt nur der Ursprung die notwendige Bedingung für
> ein Extremum.
Hallo,
an dieser Stelle solltest Du aufmerken.
Schau Dir mal Deine Nebenbedingungen an: die erste beschreibt eine Ebene, die zweite eine Kugel.
Du betrachtest nun die Funktion f über dem Schnitt dieser Gebilde.
Die Schnittmenge ist sicher abgeschlossen und beschränkt, also kompakt, Deine Funktion f ist stetig, und wenn alles gut läuft, dann weißt Du, daß stetige Funktionen über kompakten Mengen ihr Minimum und Maximum annehmen.
Du hast nun nur ein Minimum gefunden (- für welches man nicht hätte rechnen müssen:
die Funktion f liefert das Quadrat des Abstandes der Punkte, die durch Deine NBen beschrieben werden, zum Ursprung, und daß (0|0|0) ein Punkt ist, der in dieser Menge liegt, ist kein großes Geheimnis. Gleichzeitig ist dies der einzige Punkt überhaupt, der vom Ursprung den Abstand 0 hat).
Man weiß also, daß Du irgendwo einen Fehler gemacht hast, und kann sich daranmachen, ihn aufzuspüren.
Dein Fehler ist ein ganz typischer und immer wieder gern gemachter:
> Zu Aufgabe 2:
> [mm]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2[/mm]
> N1: [mm]g(x,y,z) = x+y+z[/mm]
> N2:
> [mm]h(x,y,z) = (x-3)^2 + y^2 + z^2[/mm]
> Ann: Es existieren
> Konstanten [mm]\lambda , \mu[/mm] mit grad f(x,y,z) = [mm]\lambda[/mm] grad
> g(x,y,z) + [mm]\mu[/mm] grad h(x,y,z).
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{2x\\2y\\2z} = \lambda\vektor{1\\1\\1} + \mu\vektor{2x-6\\2y\\2z}[/mm]
>
> [mm][mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu}
[/mm]
Hier ist er!
x = [mm] \bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu} [/mm] gilt nur, wenn [mm] \mu\not=1.
[/mm]
Der Fall [mm] \mu=1 [/mm] ist gesondert zu untersuchen, und ich bin mir ziemlich sicher, daß Du damit das Maximum findest.
> Ist mein Weg korrekt?
Der Weg fürs Minimum, insbesondere dann am Ende die Betrachtung der Funktion f, um "Minimum" zu verifizieren: ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:51 Mi 24.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo nochmal.
> > Damit Erfüllt nur der Ursprung die notwendige Bedingung für
> > ein Extremum.
>
> Hallo,
>
> an dieser Stelle solltest Du aufmerken.
>
> Schau Dir mal Deine Nebenbedingungen an: die erste
> beschreibt eine Ebene, die zweite eine Kugel.
> Du betrachtest nun die Funktion f über dem Schnitt dieser
> Gebilde.
>
> Die Schnittmenge ist sicher abgeschlossen und beschränkt,
> also kompakt, Deine Funktion f ist stetig, und wenn alles
> gut läuft, dann weißt Du, daß stetige Funktionen über
> kompakten Mengen ihr Minimum und Maximum annehmen.
Diesen Satz, der glaube ich als Satz von Weierstraß bzw. Satz vom Maximum und Minimum nach Weierstraß durch die Literatur geistert, habe ich bestimmt schon einmal gehört. Der ist mir zumindest sehr vertraut.
Ich sehe mal lieber zu, dass ich ihn auch verinnerliche, der liefert ja ein ganz handliches und nützliches Kriterium.
> Du hast nun nur ein Minimum gefunden (- für welches man
> nicht hätte rechnen müssen:
> die Funktion f liefert das Quadrat des Abstandes der
> Punkte, die durch Deine NBen beschrieben werden, zum
> Ursprung, und daß (0|0|0) ein Punkt ist, der in dieser
> Menge liegt, ist kein großes Geheimnis. Gleichzeitig ist
> dies der einzige Punkt überhaupt, der vom Ursprung den
> Abstand 0 hat).
>
>
> Man weiß also, daß Du irgendwo einen Fehler gemacht hast,
> und kann sich daranmachen, ihn aufzuspüren.
>
> Dein Fehler ist ein ganz typischer und immer wieder gern
> gemachter:
>
> > Zu Aufgabe 2:
> > [mm]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2[/mm]
> > N1: [mm]g(x,y,z) = x+y+z[/mm]
> >
> N2:
> > [mm]h(x,y,z) = (x-3)^2 + y^2 + z^2[/mm]
> > Ann: Es existieren
> > Konstanten [mm]\lambda , \mu[/mm] mit grad f(x,y,z) = [mm]\lambda[/mm] grad
> > g(x,y,z) + [mm]\mu[/mm] grad h(x,y,z).
> >
> > [mm]\Rightarrow \vektor{2x\\2y\\2z} = \lambda\vektor{1\\1\\1} + \mu\vektor{2x-6\\2y\\2z}[/mm]
>
> >
> > [mm][mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu}[/mm]
>
> Hier ist er!
>
> x = [mm]\bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu}[/mm] gilt nur, wenn [mm]\mu\not=1.[/mm]
>
> Der Fall [mm]\mu=1[/mm] ist gesondert zu untersuchen, und ich bin mir ziemlich sicher, daß Du damit das Maximum findest.
>
>
> > Ist mein Weg korrekt?
>
> Der Weg fürs Minimum, insbesondere dann am Ende die Betrachtung der >Funktion f, um "Minimum" zu verifizieren: ja.
>
> Gruß v. Angela
Danke soweit. Das leuchtet mir auch alles ein. Dass die Funktion ihr Maximum und ihr Minimum annimmt, besagt der Satz. Dass das Maximum über [mm]\mu = 1[/mm] ermittelt werden könnte, ist naheliegend, da hätte ich bei der Umformung aufpassen müssen.
Allerdings, wenn ich ihn näher betrachte, liefert mir das Gleichungssystem einen Widerspruch:
(i) [mm]2x = \lambda + (2x-6)\mu \Rightarrow \lambda = 6[/mm]
(ii) [mm]2y = \lambda + 2y\mu \Rightarrow \lambda = 0[/mm]
(iii) [mm]2z = \lambda + 2z\mu \Rightarrow \lambda = 0[/mm]
An anderer Stelle hatte ich eine ähnliche Umformung, die [mm]\lambda = 2[/mm] ausschloss: [mm]x = \bruch{-2\lambda}{2-\lambda}[/mm]
Zurück zum Gleichungssystem kommt (auf x,y,z umgeformt und in die erste Nebenbedingung eingesetzt) [mm]\mu = 1[/mm] heraus, obwohl ich selbiges auf dem Weg ausschließen musste. Wiederum ein Widerspruch.
Ich hab das Gefühl, ich seh hier den Wald vor lauter [mm]\mu[/mm]-Bäumen nicht mehr...
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> Allerdings, wenn ich ihn näher betrachte, liefert mir das Gleichungssystem einen Widerspruch:
Hm. Das leuchtet mir ein, so weit hatte ich gar nicht geguckt.
Dann liegt der Fehler woanders - da ich zu Minute auch schon fast wonanders sein sollte, kann ich im Moment nicht suchen.Wenn's kein anderer sieht, guck' ich morgen nochmal.
Gruß v. Angela
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> Zu Aufgabe 2:
> [mm]f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2[/mm]
> N1: [mm]g(x,y,z) = x+y+z[/mm]
> N2:
> [mm]h(x,y,z) = (x-3)^2 + y^2 + z^2[/mm]
> Ann: Es existieren
> Konstanten [mm]\lambda , \mu[/mm] mit grad f(x,y,z) = [mm]\lambda[/mm] grad
> g(x,y,z) + [mm]\mu[/mm] grad h(x,y,z).
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{2x\\2y\\2z} = \lambda\vektor{1\\1\\1} + \mu\vektor{2x-6\\2y\\2z}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x = \bruch{\lambda - 6 \mu}{2-2\mu} , y = z = \bruch{\lambda}{2-2\mu}[/mm]
>
> Eingesetzt in die erste Nebenbedingung:
> [mm]\bruch{\lambda - 6\mu}{2 - 2\mu} + \bruch{2\lambda}{2-2\mu} = 0 \gdw 2\lambda - 6\mu = 0 \gdw \lambda = 2\mu[/mm]
>
> Eingesetzt in die zweite Nebenbedingung:
> [mm][mm] (\bruch{-2\lambda}{2-2\mu} [/mm] - [mm] 3)^2 [/mm] + [mm] 2(\bruch{\lambda}{2-\lambda})^2 [/mm] = 9
Hallo,
hier folgt dann bei Dir ein simpler Rechenfehler.
Richtig wäre
... <==> [mm] \bruch{4\lambda^2}{(2-\lambda)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\red{12}\lambda}{2-\lambda} [/mm] + 9 + [mm] 2\bruch{\lambda^2}{(2-\lambda)^2} [/mm] = 9,
und damit dürfte sich nun aber wirklich der 2.kritische Punkt ergeben.
Nichtsdestotrotz, auch wenn es im aktuellen Falle keine Rolle gespielt hat, passe in Zukunft gut auf, daß Du nicht irgendwo durch 0 teilst, denn auf diese Weise gehen oft Lösungen (und Klausurpunkte) verloren.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Do 25.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke Angela,
also ist mir der Faktor 2 in der binomischen Formel dadurchgerutscht.
Mit der Korrektur bekomme ich den zweiten kritischen Punkt [mm]P_2 = (-\bruch{10}{7}, -\bruch{2}{7} , -\bruch{2}{7})[/mm] heraus. Die Rechnung habe ich jetzt nur auf einem Schmierblatt geführt, weil der effektive Punkt für mich nicht mehr von Belang ist. Für die Begründung des Maximums in diesem Punkt sollte der Verweis auf den Satz über das Maximum/Minimum genügen. Den anderen hatte ich ja schon als Minimum identifiziert. (und wenn ichs nicht hätte, sind die Funktionswerte 0 und > 0 eindeutig genug)
Wichtiger ist für mich, den Weg verstanden zu haben und reproduzieren zu können. Ich denke, das ist mir beides möglich. Dazu ein Flüchtigkeitsfehler und die Division durch 0. Ich hab was mitgenommen.
Letztlich eine hochinteressante Aufgabe. Hat Spaß gemacht.
liebe Grüße,
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
[mm]f(x,y,z) = 5x - 2y + 7z[/mm]
N: [mm]g(x,y,z) = x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm]
Ann.: Es gibt eine konstante [mm]\lambda[/mm] mit
[mm]\vektor{5\\-2\\7} = \lambda\vektor{2x\\2\\8z}[/mm][mm]\Rightarrow 5 = 2x\lambda , -2 = 2\lambda , 7 = 8z\lambda[/mm][mm]\Rightarrow \lambda = -1 , x = -\bruch{5}{2} , z = -\bruch{7}{8}[/mm]
Eingesetzt in die Nebenbedingung:
[mm]y = \bruch{1}{2}(-x^2 - 4z^2 + 9) = \bruch{1}{2}(\bruch{-100}{16} - \bruch{49}{16} + 9) = -\bruch{5}{32}[/mm]
Demnach mein einziger kritischer Punkt: [mm]P = (-\bruch{5}{2},-\bruch{5}{32},-\bruch{7}{8})[/mm]
Auch hier ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit (Nullmatrix) und erlaubt keine Aussage über Minima/Maxima.
Wie könnte ich hier argumentieren, dass mein gefundener kritischer Punkt das gesuchte Minimum darstellt? Über eine offene Umgebung um den kritischen Punkt wäre wegen der Nebenbedingung alles andere als trivial...
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Hallo MaraQ,
> [mm]f(x,y,z) = 5x - 2y + 7z[/mm]
> N: [mm]g(x,y,z) = x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm]
>
> Ann.: Es gibt eine konstante [mm]\lambda[/mm] mit
>
> [mm]\vektor{5\\-2\\7} = \lambda\vektor{2x\\2\\8z}[/mm][mm]\Rightarrow 5 = 2x\lambda , -2 = 2\lambda , 7 = 8z\lambda[/mm][mm]\Rightarrow \lambda = -1 , x = -\bruch{5}{2} , z = -\bruch{7}{8}[/mm]
>
> Eingesetzt in die Nebenbedingung:
>
> [mm]y = \bruch{1}{2}(-x^2 - 4z^2 + 9) = \bruch{1}{2}(\bruch{-100}{16} - \bruch{49}{16} + 9) = -\bruch{5}{32}[/mm]
>
> Demnach mein einziger kritischer Punkt: [mm]P = (-\bruch{5}{2},-\bruch{5}{32},-\bruch{7}{8})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Auch hier ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit
> (Nullmatrix) und erlaubt keine Aussage über Minima/Maxima.
> Wie könnte ich hier argumentieren, dass mein gefundener
> kritischer Punkt das gesuchte Minimum darstellt? Über eine
> offene Umgebung um den kritischen Punkt wäre wegen der
> Nebenbedingung alles andere als trivial...
Löse die Nebenbedingung nach y auf und setze das in [mm]f\left(x,y,z)[/mm] ein
Dann erhältst Du eine quadratische Gleichung in x und z.
Zeige dann mittels quadratischer Ergänzung, daß diese
quadratische Gleichung in dem besagten Punkt ihr Mininum annimmt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Löse die Nebenbedingung nach y auf und setze das in
> [mm]f\left(x,y,z)[/mm] ein
>
> Dann erhältst Du eine quadratische Gleichung in x und z.
>
> Zeige dann mittels quadratischer Ergänzung, daß diese
> quadratische Gleichung in dem besagten Punkt ihr Mininum
> annimmt.
>
>
> Gruß
> MathePower
Herrlich! Das geht ja wunderschön auf. Danke dir!
Schöne Grüße,
Tobias
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> [mm]f(x,y,z) = 5x - 2y + 7z[/mm]
> N: [mm]g(x,y,z) = x^2 + 2y + 4z^2 = 9[/mm]
f(x,y,z) soll unter der Nebenbedingung N minimal werden
> einziger kritischer Punkt: [mm]P = (-\bruch{5}{2},-\bruch{5}{32},-\bruch{7}{8})[/mm]
>
> Auch hier ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit
> (Nullmatrix) und erlaubt keine Aussage über Minima/Maxima.
> Wie könnte ich hier argumentieren, dass mein gefundener
> kritischer Punkt das gesuchte Minimum darstellt? Über eine
> offene Umgebung um den kritischen Punkt wäre wegen der
> Nebenbedingung alles andere als trivial...
Hallo MaRaQ,
ich habe mir die ganze Aufgabe geometrisch überlegt:
Jede Gleichung f(x,y,z)=C mit [mm] C\in\IR [/mm] stellt eine
bestimmte Ebene aus einer Schar von Parallelebenen dar.
N ist ein in negativer y-Richtung
geöffnetes elliptisches Paraboloid.
Man kann sich anschaulich klar machen (Konvexität
der Fläche N), dass es genau eine Ebene der Schar
gibt, welche N in (genau) einem Punkt P berührt.
Dies ist dein gefundener kritischer Punkt.
Da f(x,y,z) wächst, wenn y abnimmt und das Parabo-
loid in negativer y-Richtung geöffnet ist (das vollständig
auf der einen Seite der Tangentialebene liegen muss),
ist für jeden Punkt (x,y,z) des Paraboloids
[mm] f(x,y,z)\ge f(x_P,y_P,z_P)
[/mm]
Also ist P der Punkt mit kleinstem f-Wert auf dem
ganzen Paraboloid.
LG
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