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| Aufgabe | | Es sei c [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit IIaII = 1. (Gemeint ist Norm von a, hab die Zeichen nicht gefunden). H:= { x [mm] \in \IR^{n} [/mm] | [mm] a^{t}x=c}. [/mm] Berechne den Abstand eines Punktes [mm] b_{0} \in \IR^{n} [/mm] von H. |
Hallo ihr alle!
Also habe bei der Aufgabe schon einiges ausprobiert und rumgerechnet, insbesondere mit den Lagrange-Multiplikatoren. Schreibe einfach mal hin, was ich jetzt bis habe und wo es dann hakt.
Abstand soll minimiert werden und zwar mit der Nebenbedingung dass für mein x eben gilt : <ax> = c. Sei [mm] x\*:=x \in \IR^{n}| a^{t}x [/mm] =c.
Ich habe die Abstandsfunktion klein f genannt , also
f [mm] (b_{0}, x\*) [/mm] = [mm] \wurzel{x\*-b_{0}^{2} + .....+ (x\*-b_{0}^{2})}. [/mm] Der Einfachkeitshalber habe ich nicht mit der Wurzel gerechnet, sondern den Abstand quadriert.
f soll auf H mimimiert werden, dazu muss H als Nullstellenmenge einer Funktion F dargestellt werden. Obige Darstellung von H (siehe Aufgabe) führt zu:
F: [mm] \IR^{n} \mapsto \IR [/mm] ; (a,x) [mm] \mapsto [/mm] <a,x> -c, also
-c + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}. [/mm]
Um f auf H zu minimieren, bestimmt man zunächst die partiellen Ableitungen von F unf f. Wir erhalten:
1. Ableitung von F an [mm] x\*_{1} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] usw. bis n-te Ableitung von F an [mm] x\*_{n} [/mm] = [mm] a_{n}. [/mm]
1. Ableitung von klein f an [mm] x\*_{1} [/mm] ergibt: [mm] 2x\*_{1} [/mm] - [mm] 2b_{02} [/mm] usw. bis n analog.
Dann erhalte ich ein GLS (welches bis auf die Indizes und immer gleich aussieht, nämlich 1. Gleichung <a,x> -c = 0 und danach [mm] 2x\*_{1} [/mm] - [mm] 2b_{01} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] a_{1} [/mm] und dann halt mit indizes zwei bis n weiterlaufend) und löse doch nach [mm] x\* [/mm] auf und bekomme ein Ergebnis in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] , richtig? Wenn ich annehme, dass [mm] b_{0} [/mm] ungleich Null ist, kommt für [mm] x\*_{1} [/mm] genau 0,5 [mm] \bruch{\lambda_{1}}{b_{01}} [/mm] raus. Muss ich dann mein x in die 1. Gleichung (die da war: <a,x> -c = 0 oder eben auch in Summenschreibweise einsetzen und dann nach Lambda auflösen ? und dies wiederum für [mm] x\* [/mm] einsetzen? Danach nur noch die möglichen Extremstellen in f einsetzen, um zu sehen ob wirklich ein Minimum vorliegt?
Ist das so richtig oder geht das so gar nicht?
Vielen Dank.
Lieben Gruß
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 18.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Es sei c [mm]\in \IR,[/mm] a [mm]\in \IR^{n}[/mm] mit IIaII = 1. (Gemeint
> ist Norm von a, hab die Zeichen nicht gefunden). [mm]H:= \{ x \in \IR^{n}\mida^{t}x=c\}.[/mm] Berechne den Abstand eines Punktes
> [mm]b_{0} \in \IR^{n}[/mm] von H.
OK, H ist eine (n-1)-dimensionale Hyperebene mit Normalenvektor a, die einen Abstand c vom Ursprung hat.
Daher sollte als Ergebnis herauskommen: die Länge der Projektion von [mm]b_0[/mm] auf a, davon c abgezogen: [mm] | a^t b_0 -c |[/mm].
> Hallo ihr alle!
>
> Also habe bei der Aufgabe schon einiges ausprobiert und
> rumgerechnet, insbesondere mit den
> Lagrange-Multiplikatoren. Schreibe einfach mal hin, was ich
> jetzt bis habe und wo es dann hakt.
>
> Abstand soll minimiert werden und zwar mit der
> Nebenbedingung dass für mein x eben gilt : <ax> = c. Sei
> [mm]x\*:=\{x \in \IR^{n}| a^{t}x\} =c[/mm].
> Ich habe die Abstandsfunktion klein f genannt , also
> f [mm](b_{0}, x\*)[/mm] = [mm]\wurzel{x\*-b_{0}^{2} + .....+ (x\*-b_{0}^{2})}.[/mm]
Ich nehme an, du meinst
[mm] \wurzel{(x_\ast-b_0)^2} = \wurzel{(x_{\ast,1} - b_{0,1})^2 + \dots + (x_{\ast,n} - b_{0,n})^2} [/mm].
> Der Einfachkeitshalber habe ich nicht mit der Wurzel
> gerechnet, sondern den Abstand quadriert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f soll auf H mimimiert werden, dazu muss H als
> Nullstellenmenge einer Funktion F dargestellt werden. Obige
> Darstellung von H (siehe Aufgabe) führt zu:
> F: [mm]\IR^{n} \mapsto \IR[/mm] ; (a,x) [mm]\mapsto[/mm] <a,x> -c, also
> -c + [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}.[/mm]
> Um f auf H zu minimieren, bestimmt man zunächst die
> partiellen Ableitungen von F unf f. Wir erhalten:
> 1. Ableitung von F an [mm]x\*_{1}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] usw. bis n-te
> Ableitung von F an [mm]x\*_{n}[/mm] = [mm]a_{n}.[/mm]
> 1. Ableitung von klein f an [mm]x\*_{1}[/mm] ergibt: [mm]2x\*_{1}[/mm] -
> [mm]2b_{02}[/mm] usw. bis n analog.
> Dann erhalte ich ein GLS (welches bis auf die Indizes und
> immer gleich aussieht, nämlich 1. Gleichung <a,x> -c = 0
> und danach [mm]2x\*_{1}[/mm] - [mm]2b_{01}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]a_{1}[/mm] und dann
> halt mit indizes zwei bis n weiterlaufend) und löse doch
> nach [mm]x\*[/mm] auf und bekomme ein Ergebnis in Abhängigkeit von
> [mm]\lambda[/mm] , richtig?
Das ist eine Möglichkeit. Du könntest es auch als lineares Gleichungssystem in den Variablen [mm](x_1,\dots,\x_n,\lambda)[/mm] nehmen und dieses als Ganzes lösen.
> Wenn ich annehme, dass [mm]b_{0}[/mm] ungleich
> Null ist, kommt für [mm]x\*_{1}[/mm] genau 0,5
> [mm]\bruch{\lambda_{1}}{b_{01}}[/mm] raus.
Das verstehe ich nicht. Du hast doch nur ein [mm]\lambda[/mm]. Ich bekomme n Gleichungen
[mm] x_{\ast,i} = b_{0,i} + \bruch{1}{2}\lambda a_i [/mm].
Ich würde das mit [mm]a_i[/mm]multiplizieren und über i summieren. Dann hast du links
[mm] \summe_{i=1}^n a_i x_{\ast,i} [/mm],
was laut der (n+1)-ten Gleichung gerade c sein soll. Das löst du nach [mm]\lambda[/mm] auf und setzt es in die obigen n Gleichungen ein. Wegen [mm]\|a\|=1[/mm] ist
[mm] \summe_{i=1}^n a_i^2 = 1 [/mm] ,
das macht die Rechnung ein bischen einfacher.
Viele Grüße
Rainer
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