Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Extrema der Funktion:
[mm] f:\IR^{2}\to \IR; (x,y)\mapsto 4x^{2}-3xy
[/mm]
unter der Nebenbedingung [mm] x^{2}+y^{2}-1=0 [/mm] |
Also ich hab bei dieser Aufgabe die folgenden potentiellen Extremstellen rausgefunden:
[mm] x_{1}=\bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm]
[mm] y_{1}=\bruch{3}{\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{-1}{\wurzel{10}} [/mm]
[mm] y_{2}=\bruch{-3}{\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] x_{3}=\bruch{-3}{\wurzel{10}} [/mm]
[mm] y_{3}=\bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm]
[mm] x_{4}=\bruch{3}{\wurzel{10}} [/mm]
[mm] y_{4}=\bruch{-1}{\wurzel{10}}
[/mm]
Wie mache ich jetzt weiter um rauszufinden, ob die vier Punkte hier nun Max oder Min sind??
Welche Funktion muss ich partiell integrieren um dann die Hesse Matrix aufstellen und die Punkte einsetzen zu können??
Hab mal irgendwo gelesen, dass ich ne neue Funktion bauen muss mit:
[mm] F(x,y,\lambda)=4x^{2}-3xy+\lambda(x^{2}+y^{2}-1)..
[/mm]
Falls das richtig ist, wie baue ich damit jetzt eine Hesse-Matrix?
Die [mm] \lambda's [/mm] sind hier: [mm] \lambda_{1}=\bruch{-1}{2} [/mm] und [mm] \lambda_{2}=\bruch{9}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mi 22.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
für die Lagrangefunktion gilt:
[mm] L(x,y,\lambda)=4x^{2}-3xy+\lambda(x^{2}+y^{2}-1)
[/mm]
Als KKT-Bedingungen (Karush-Kuhn-Tucker) hast du sicher folgende erhalten:
i) [mm] \bruch{\partial{L}}{\partial{x}}=8x-3y+2\lambda*x\red{=}0
[/mm]
ii) [mm] \bruch{\partial{L}}{\partial{y}}=-3x+2\lambda*y\red{=}0
[/mm]
iii) [mm] x^{2}+y^{2}-1\red{=}0
[/mm]
Deine Hesse-Matrix
[mm] H(x,y,\lambda)=\pmat{ \bruch{\partial^2{L}}{\partial{x}\partial{x}} & \bruch{\partial^2{L}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \bruch{\partial^2{L}}{\partial{y}\partial{x}} & \bruch{\partial^2{L}}{\partial{y}\partial{y}} }
[/mm]
In H kannst du nun die kritischen Punkte einsetzen und über die Definitheit der Matrix H Rückschlüsse auf die Art der Extrema ziehen.
Gruß barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Do 23.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Menge K = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^{2}+y^{2}-1=0 [/mm] } ist kompakt und f ist auf K stetig, somit gibt es Punkte in K , an denen f das Min. und das Max. annimmt.
Für diese Punkte kommen nur die Punkte [mm] (x_i,y_i) [/mm] ( i= 1,2,3,4)
(Satz von Lagrange !)
Wegen
[mm] $f(x_1,y_1) [/mm] = [mm] f(x_2,y_2) [/mm] = -2$
und
[mm] $f(x_3,y_3) [/mm] = [mm] f(x_4,y_4) [/mm] = 9/2$
nimmt f sein Min. auf K in [mm] (x_1,y_1) [/mm] und [mm] (x_2,y_2) [/mm] und sein Max. auf K in [mm] (x_3,y_3) [/mm] und [mm] (x_4,y_4) [/mm] an
FRED
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