Extrema unter nebenbedingungen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ih lerne gerade etwas Numerik II. und lese dazu mein Skript und zusätzlich in wikipedia.
Jetzt bin ich beim thema lokale extrema unter nebenbedingungen auf folgendes problem gestoßen:
bei lokalen extrema ohne NB muss gelten
{ [mm] \nabla [/mm] f(x) = 0}
So das muss mit NB nicht gelten, da gilt nur etwas vegleichbares mit Lagrangemultiplikatoren.
{ [mm] \nabla [/mm] f(x) + [mm] \summe_{i=1}^{l} \lambda_{i} a^{(k_{i})} [/mm] = 0}
Mit [mm] a^{(k_{i})} [/mm] Basis des Spaltenraums der NB [mm] A^{T}x=b
[/mm]
Meine frage ist eiegntlich nur diejenige: warum gilt hier nicht
{ [mm] \nabla [/mm] f(x) = 0} ????
Ich finde das merkwürdig!
Es gilt lediglich, was ich auch nicht verstehe:
{< [mm] \nabla [/mm] f(x) , u> = 0} mit uU, und man will minimieren auf [mm] W=x\*+U, [/mm] U lin. UR, also W Affiner UR
Also Nabla f(x) ist orthogonal auf u's
Woher kommt das?
Danke im voraus,
Lannigan2k
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Fr 18.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Oskar,
Wenn nur [mm]\nabla f = 0[/mm] gefordert wäre, dann wäre die Stelle ja ein lokaler Extremwert, ohne die Nebenbedinungen zu beachten! Diese werden durch die erweiterte Formel eben beachtet.
Beispiel eines Extremwerts mit Nebenbedingung, der kein lokaler Extremwert ist:
[mm]f(x,y) = x+y[/mm] mit der Nebenbedinung [mm]x^2+y^2=2[/mm], d.h. auf dem Kreis mit Radius 2 betrachtet.
Dann ist [mm](1,1)[/mm] ein Extremwert, da die Funktion auf diesem Kreis keine grösseren Werte als 2 annimmt, wie man leicht zeigen kann. Ausserhalb aber schon!
Viele Grüsse,
Andreas
|
|
|
| |
|
hi,
Tausend dank, ja genau, das stimmt antürlich, ja das ist gut :)
kannst du mir noch erklären warum folgendes gilt
{< [mm] \nablaf(x) [/mm] , u> = 0}
klar mit dem beispiel von dir kann ichs mir veranschaulichen, aber dass dies generell gilt, da fehlt mir wahrscheinlich die beweisidee.
gruß
lannigan2k
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Fr 18.04.2008 | | Autor: | anstei |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Oskar,
> kannst du mir noch erklären warum folgendes gilt
>
> {< [mm]\nablaf(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, u> = 0}
>
> klar mit dem beispiel von dir kann ichs mir
> veranschaulichen, aber dass dies generell gilt, da fehlt
> mir wahrscheinlich die beweisidee.
Nun, anschaulich gesprochen soll die Funktion ja in den "Richtungen" in denen man sich "bewegen" darf (aufgrund der Nebenbedingungen) eine Extremalstelle haben. Und dazu ist es notwendig, dass die Richtungsableitungen in diesem Punkt verschwinden, wenn sie den Nebenbedinungen entsprechen - Die anderen dürfen beliebig sein. Dies entspricht aber genau der Tatsache, dass der Gradient der Funktion senkrecht auf den Nebenbedingungen steht, d.h. das Skalarprodukt ist null.
Genaue Beweise dürften sich in jedem besseren Analysis-Buch zu mehrdimensionaler Differentiation finden.
Viele Grüsse,
Andreas
|
|
|
|
