Extrema von Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimme die lokalen Extremstellen der Funktionen:
a) [mm] f:\IR^2 \to \IR, f(x,y)=(4x^2+y^2)exp(-x^2-4y^2)
[/mm]
b) [mm] g:\IR^2 \to \IR, [/mm] g(x,y)= [mm] x^2+y^2-2x-4y+5
[/mm]
c) [mm] h:\IR^2 \to \IR, [/mm] h(x,y)=sinxsiny |
okay...die erste Ableitung in Richtung x und y muss Null sein. Alle partiellen Ableitungen müssen Null sein.
a)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= 8x*e^{-x^2}*(-2x*e^{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= 2y*e^{-4y^2}*(-8y*e^{-4y^2}
[/mm]
Wobei ich mich hier wohl beim ableiten sicher etwas vertan habe..
b)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= [/mm] 2x-2 = 0 x= 1
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= [/mm] 2y-4 = 0 y= 2
Extrema bei (1,2)
c)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=cosx= [/mm] 0 x= [mm] \bruch{\pi}{2}*(2n+1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=cosy= [/mm] 0 y= [mm] \bruch{\pi}{2}*(2n+1)
[/mm]
[mm] (\bruch{\pi}{2}*(2n+1), \bruch{\pi}{2}*(2n+1)) [/mm]
Ist die Art meines Vorgehen für die Aufgabenstellung so richtig??
Gruß
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> bestimme die lokalen Extremstellen der Funktionen:
>
> a) [mm]f:\IR^2 \to \IR, f(x,y)=(4x^2+y^2)exp(-x^2-4y^2)[/mm]
> b)
> [mm]g:\IR^2 \to \IR,[/mm] g(x,y)= [mm]x^2+y^2-2x-4y+5[/mm]
> c) [mm]h:\IR^2 \to \IR,[/mm] h(x,y)=sinxsiny
> okay...die erste Ableitung in Richtung x und y muss Null
> sein. Alle partiellen Ableitungen müssen Null sein.
>
> a)
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= 8x*e^{-x^2}*(-2x*e^{x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= 2y*e^{-4y^2}*(-8y*e^{-4y^2}[/mm]
>
> Wobei ich mich hier wohl beim ableiten sicher etwas vertan
> habe..
Ja, hast du, du musst die Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel benutzen:
[mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=8xe^{-x^2-4y^2}+(4x^2+y^2)e^{-x^2-4y^2}\cdot{}(-2x)[/mm] ...
>
> b)
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=[/mm] 2x-2 = 0 x= 1
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=[/mm] 2y-4 = 0 y= 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Extrema bei (1,2)
Einzahl: Extremum
[mm](1,2)[/mm] ist erstmal ein Kandidat für ein Extremum.
Ob es wirklich ein Extremum oder doch ein Sattelpunkt ist, musst du noch untersuchen.
Wie geht das noch gleich? Was sagt die VL?
>
> c)
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=cosx=[/mm] 0 x=
> [mm]\bruch{\pi}{2}*(2n+1)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=cosy=[/mm] 0 y=
> [mm]\bruch{\pi}{2}*(2n+1)[/mm]
>
> [mm](\bruch{\pi}{2}*(2n+1), \bruch{\pi}{2}*(2n+1))[/mm]
Die Ableitungen sind falsch!
Bei der Ableitung nach y ist [mm]\sin(x)[/mm] ein konstanter Faktor (da könnte auch eine 5 stehen), umgekehrt bei der Ableitung nach [mm]x[/mm]
>
>
> Ist die Art meines Vorgehen für die Aufgabenstellung so
> richtig??
Die partiellen Ableitungen zu berechnen und =0 zu setzen, ist schon mal ein richtiger Anfang.
>
>
> Gruß
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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so..Versuch Nummer 2:
a)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= -2x*e^{-x^2-4x^2}*(4x^2+y^2-4) [/mm] = 0
okay...dann gilt einmal 0= [mm] -2x*e^{-x^2-4x^2} [/mm] und 0= [mm] (4x^2+y^2-4) [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-2y*e^{-x^2-4x^2}*(16x^2+4y^2-1) [/mm] = 0
0= [mm] -2y*e^{-x^2-4x^2}
[/mm]
0= [mm] (16x^2+4y^2-1) [/mm]
b) okay...das ist dann eine mögliche Extremstelle..ich muss also die zweite partielle Ableitung bilden. okay...hier weiß ich nun nicht ob ich bloß zweimal nach x und y ableiten muss oder auch anch xy und yx...die Hesse Matrix kann ich nicht anwenden, weil die möglichen Extremstellen nicht 0 sind...oder wie war das?
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}= [/mm] 2 -> lokales Min.
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}= [/mm] 2 -> lokales Min.
so..weiter komme ich irgendwie nicht...
c)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= [/mm] cosx*siny
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= [/mm] sinx*cosy
hmm...mit sin und cos tu ich mich etwas schwer...
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Hallo nochmal,
> so..Versuch Nummer 2:
>
> a)
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= -2x*e^{-x^2-4x^2}*(4x^2+y^2-4)[/mm] = 0
> okay...dann gilt einmal 0= [mm]-2x*e^{-x^2-4x^2}[/mm] und oder 0= [mm](4x^2+y^2-4)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=-2y*e^{-x^2-4x^2}*(16x^2+4y^2-1)[/mm] = 0
> 0= [mm]-2y*e^{-x^2-4x^2}[/mm]
> 0= [mm](16x^2+4y^2-1)[/mm]
Ja, hier musst du nun alle Lösungen bestimmen.
Wenn etwa in der ersten Gleichung [mm]x=0[/mm] ist, löst neben [mm]y=0[/mm] auch [mm]y=\pm 1/2[/mm] die zweite Gleichung.
Das musst du noch genauer machen ...
>
> b) okay...das ist dann eine mögliche Extremstelle..ich
> muss also die zweite partielle Ableitung bilden.
> okay...hier weiß ich nun nicht ob ich bloß zweimal nach x
> und y ableiten muss oder auch anch xy und yx...die Hesse
> Matrix kann ich nicht anwenden, weil die möglichen
> Extremstellen nicht 0 sind...oder wie war das?
Du musst sowohl die gemischten zweiten partiellen Ableitungen als auch die "reinen" zweiten Ableitungen bilden, sprich: die Hessematrix aufstellen. [mm]H_f(x,y)=...[/mm]
Diese ist an der Kandidatenstelle [mm](1,2)[/mm] auszuwerten.
Berechne also [mm]H_f(1,2)[/mm] und schaue nochmal nach, wie man anhand der Hessematrix die Art eines (mögl.) Extremums bestimmen kann.
Stichwort: Definitheit ...
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm](x,y)= 2
> -> lokales Min.
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}=[/mm] 2 ()-> lokales Min.
Das folgt noch nicht so schnell!
>
> so..weiter komme ich irgendwie nicht...
Du brauchst die Hessematrix!
>
>
> c)
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=[/mm] cosx*siny
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=[/mm] sinx*cosy
>
> hmm...mit sin und cos tu ich mich etwas schwer...
Wann wird die erste Gleichung 0?
Wenn [mm]\cos(x)=0[/mm] oder [mm]\sin(y)=0[/mm]
Wenn [mm]\cos(x)=0[/mm] ist, ist [mm]\sin(x)\neq 0[/mm], in diesem Fall wird also die zweite Gleichung nur 0, wenn [mm]\cos(y)=0[/mm] ist ...
usw.
Gruß
schachuzipus
>
>
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[mm] 0=-2xe^{-x^2-4y^2}
[/mm]
x= 0
[mm] 0=4x^2+y^2-4
[/mm]
[mm] x=\bruch{2-y}{2}
[/mm]
[mm] 0=-2ye^{-x^2-4y^2}
[/mm]
x=0
[mm] 0=16x^2+4y^2-1
[/mm]
[mm] 0=\bruch{-2y-1}{4}
[/mm]
Okay..aber da wird wohl einiges nicht stimmen..und wie bilde ich jetzt die Hesse Matrix? Das kenne ich bisher nur von der Definition her!
Gruß
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 31.05.2011 | | Autor: | ron |
Hallo,
es sind schon einige richtige Schritte dabei.
Bei der Bestimmung von Extrema im Mehrdimensionalen ist es wichtig sich alle Richtungsableitungen nach einem Schemata aufzuschreiben. Sinnvoll ist die Struktur der Hessematrix dabei zu beachten.
Welches Schema gewählt wird ist persönliche Geschmackssache, aber festlegen sollte man sich und SAUBER die jeweiligen Ableitungen aufschreiben.
Hinweis: Die Ableitungsregel scheinen nicht sicher zu sitzen, viele einfache Fehler!
Hauptpunkt: f(x,y) = sin x cos y
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] = cos x cos y
(cos y ist wie eine Konstante zu behandeln, aber mitzuschleppen, das mache es ja aus 
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = sin x (-sin y)
Hier bilden sich viele Möglichkeiten, dass diese Ausdrücke Null ergeben. Dabei muss nur einer der Faktoren Null sei!
Also weiter im Schema, die gemischten partiellen Ableitungen (ACHTUNG die Reihenfolge von Ableitungen in x bzw. y Richtung beachten!!!):
[mm] \bruch{\partial^{2} f(x,y)}{\partial y \partial x} [/mm] = cos x (-sin y)
[mm] \bruch{\partial^{2} f(x,y)}{\partial x \partial y} [/mm] = cos x (-sin y)
Damit ist sofort die Symmetrie der Hessematrix erkennbar!
[mm] \pmat{ \partial xx & \partial xy \\ \partial yx & \partial yy}
[/mm]
Erste Spalte die Richtungsableitungen des Gradienten in x-Richtung
Zweite Spalte die Richtungsableitungen des Gradienten in y-Richtung
Jetzt kommen die kritischen (interessanten) Punkte, welche zuvor über die Nullstellen der Gradienten (" erste Richtungsableitungen") ermittelt wurden, zum Zuge.
Das ist ja bereits geschehen. Die Definitheit bzw. wann ein Max/Min vorliegt bitte nochmal nachlesen, führe ich hier jetzt nicht aus.
Gute Zusammenfassung findet sich hier:
![[]](/images/popup.gif) Extrema im \IR^{n}
Denke die Schritte sind klar, nur die saubere Übersicht fehlte...
toi, toi, toi
ron
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Wie kommt man auf diese Ableitungen, wenn doch f(x,y)= sinx*siny gilt?
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Hallo nochmal,
> Wie kommt man auf diese Ableitungen, wenn doch f(x,y)= sinx*siny gilt?
Gar nicht, ron ging von einer falschen Funktion aus, nämlich von [mm] $f(x,y)=\sin(x)\cos(y)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:16 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]0=-2xe^{-x^2-4y^2}[/mm]
> x= 0
>
> [mm]0=4x^2+y^2-4[/mm]
> [mm]x=\bruch{2-y}{2}[/mm]
>
> [mm]0=-2ye^{-x^2-4y^2}[/mm]
> x=0
>
> [mm]0=16x^2+4y^2-1[/mm]
> [mm]0=\bruch{-2y-1}{4}[/mm]
>
> Okay..aber da wird wohl einiges nicht stimmen..und wie
> bilde ich jetzt die Hesse Matrix? Das kenne ich bisher nur
> von der Definition her!
Hallo Mathegirl,
Hilfe !!! Ich blicks nicht. Wie mache ich mir Wiener Würstchen ? Das kenne ich bisher nur von dem Kochbuch her!
Was antwortest Du ? Klar doch: "Fred, schau ins Kochbuch !"
Deine Fragen grenzen schon an Frechheit (und Faulheit)
FRED
>
> Gruß
> mathegirl
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Danke Fred!
Ich finde es auch sehr sinnvoll mit eventuell falschen Ergebnissen die Hesse Matrix aufzustellen! ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred!
Bitteschön...
> Ich finde es auch sehr sinnvoll mit eventuell falschen
> Ergebnissen die Hesse Matrix aufzustellen! ;)
Du hast wohl für alles eine Ausrede , gell ?
Weiter oben schreibst Du:
"".hier weiß ich nun nicht ob ich bloß zweimal nach x und y ableiten muss oder auch anch xy und yx...die Hesse Matrix kann ich nicht anwenden, weil die möglichen Extremstellen nicht 0 sind...oder wie war das? "
Ein Blick ins Skript oder in ein Buch verschafft doch sofort Klarheit !!
FRED
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zu b) [mm] g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5
[/mm]
hmm..was amche ich, wenn ich die mögliche Extremstelle nicht in die zweite Ableitung einsetzen kann?
z.B. [mm] f_{xx}=2 [/mm]
Und ich weiß leider immer noch nicht ob meine möglichen Extremstellen von der a) so okay sind... vielleicht kann da nochmal jemand drüber schauen?
Und ich verstehe noch nicht genau den sinn, was es mir bringt die Ableitungen in die Hessematrix einzusetzen? also ich weiß das ich daran erkenne ob isoliertes Max/Min oder Lokales Extremum vorliegt..aber das sehe ich doch auch so oder?
Gruß
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> zu b) [mm]g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5[/mm]
>
> hmm..was amche ich, wenn ich die mögliche Extremstelle
> nicht in die zweite Ableitung einsetzen kann?
> z.B. [mm]f_{xx}=2[/mm]
Das ist wirklich anstrengend mit dir, alles muss man 1000 Mal wiederholen.
Du sagst, dass du die Hessematrix von der Definition her kennst.
Warum schreibst du sie dann nicht hin?
Da stehen alle 4 zweiten Ableitungen drin.
Es ist [mm]f_{xx}(x,y)=2, f_{yy}(x,y)=2, f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=0[/mm]
Also sieht die Hessematrix so aus:
[mm]H_f(x,y)=\pmat{2&0\\
0&2}[/mm]
Nun musst du sie an der kritischen Stelle auswerten. (hier ist sie konstant, da ist das umso einfacher)
[mm]H_f(1,2)=\pmat{2&0\\
0&2}[/mm]
Nun musst du die Definitheit dieser Matrix prüfen.
Wie geht das noch?
Was ist, wenn sie positiv definit ist? Was, wenn sie negativ definit ist, was, wenn sie indefinit ist?
Das hatte ich alles angedeutet und dich gebeten, es nachzuschlagen.
Aber vllt. erwartest du ja ein ähnlich stures Arbeitsverhalten von deinen künftigen Schülern ...
Dann wird das aber anstrengend ...
>
> Und ich weiß leider immer noch nicht ob meine möglichen
> Extremstellen von der a) so okay sind... vielleicht kann da
> nochmal jemand drüber schauen?
Ich kann gar nicht recht entdecken, wo die kritischen Punkte stehen.
Es kommen 5 Stück heraus. (zumindest komme ich auf 5)
Schreibe die auf: [mm](0,0),(0,1/2),(0,-1/2)[/mm] (die hatten wir schon - wie lauten die restlichen?)
> Und ich verstehe noch nicht genau den sinn, was es mir
> bringt die Ableitungen in die Hessematrix einzusetzen?
Die Einträge der Hessematrix sind die zweiten Ableitungen - so ist das halt definiert:
[mm]H_f(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\
f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}[/mm]
> also
> ich weiß das ich daran erkenne ob isoliertes Max/Min oder
> Lokales Extremum vorliegt..aber das sehe ich doch auch so
> oder?
Dann hättest du besonderen Scharfblick.
Ich denke, dass die bloße Beh., dass es sich um ein lok. Minimum handelt, deinem Korrektor nicht reicht.
Es soll ja der Formalismus eingeübt werden, und dazu gehört es nun mal, die Hessematrix aufzustellen.
>
> Gruß
> Mathegirl
LG
schachuzipus
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Unser Tutor hat gesagt man braucht die hessematrix nicht anwenden, wenn die gemischten Ableitungen Null sind. Daher dachte ich man darf die Hessematrix generell nicht anwenden...deshalb kam ich nicht richtig weiter.
Da die Matrix positiv definit ist, handelt es sich hier um ein isoliertes Minimum!
ich bin leider nicht auf 5 Punkte gekommen...ich tu mich aber auch irgendwie echt schwer...
[mm] f_{x}= -2*x*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+y^2-4)
[/mm]
[mm] f_{y}=-2*y*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+4y^2-1)
[/mm]
Das Problem sind für mich die y hier..
Das der erste Faktor 0 wird, wenn x bzw y 0 sind ist ja ganz klar..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Unser Tutor hat gesagt man braucht die hessematrix nicht
> anwenden, wenn die gemischten Ableitungen Null sind. Daher
> dachte ich man darf die Hessematrix generell nicht
> anwenden...deshalb kam ich nicht richtig weiter.
>
> Da die Matrix positiv definit ist, handelt es sich hier um
> ein isoliertes Minimum!
>
> ich bin leider nicht auf 5 Punkte gekommen...ich tu mich
> aber auch irgendwie echt schwer...
>
> [mm]f_{x}= -2*x*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+y^2-4)[/mm]
>
> [mm]f_{y}=-2*y*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+4y^2-1)[/mm]
>
> Das Problem sind für mich die y hier..
>
> Das der erste Faktor 0 wird, wenn x bzw y 0 sind ist ja
> ganz klar..
Wir suchen alle (x,y) mit
(1) [mm]f_{x}= -2*x*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+y^2-4)=0[/mm]
und
(2) [mm]f_{y}=-2*y*e^{-2x^2-4y^2}*(4x^2+4y^2-1)=0[/mm]
Wenn Du annimmst, dass x [mm] \ne [/mm] 0 und y [mm] \ne [/mm] 0 ist, so folgt aus (1) und (2):
[mm] 4x^2+y^2-4=0 [/mm] und [mm] 4x^2+4y^2-1=0
[/mm]
Das führt aber zum Widerspruch [mm] y^2=-1.
[/mm]
Somit ist x=0 oder y=0.
Fall 1: x=0=y. Das liefert den Punkt (0,0)
Fall 2: x=0, y [mm] \ne [/mm] 0. Aus (2) bekommst Du [mm] 4y^2=1. [/mm] Das liefert die die Punkte (0, ?) und (0, -?)
Wie fällt ? aus ?
Fall 3: x [mm] \ne [/mm] 0, y = 0. Aus (1) bekommst Du [mm] y^2=4. [/mm] Das liefert die die Punkte (0, ?) und (0, -?)
Wie fällt diesmal ? aus ?
Edit: durch Copy und Paste ist was schiefgelaufen.
Fall 3( korrekt): x [mm] \ne [/mm] 0, y = 0. Aus (1) bekommst Du [mm] x^2=1. [/mm] Das liefert die die Punkte (?, 0) und (-?, 0)
Gruß vom Wiener-Würstchen essenden FRED
>
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Fall 2 ist dann (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] und (0, [mm] -\bruch{1}{2}) [/mm]
Fall 3 (0,2) und (0,-2)
okay, habs verstanden!
Das Problem lag wohl daran, dass ich den ersten faktor mit dem e berechnen wollte...
Danke! jetzt komme ich auch mit dem rest klar!
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Hallo nochmal,
> Fall 2 ist dann (0, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] und (0, [mm]-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Fall 3 (0,2) und (0,-2) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Fred ist ein copy&paste-Fehler unterlaufen.
Den hättest du aber selber entdecken können ...
Lies seine Antwort zum 3.Fall nochmal sorgfältig ...
>
> okay, habs verstanden!
> Das Problem lag wohl daran, dass ich den ersten faktor mit
> dem e berechnen wollte...
>
> Danke! jetzt komme ich auch mit dem rest klar!
Gut, gut!
Gruß
schachuzipus
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ja, beim aufschreiben ist es mir auch aufgefallen! die hesse matrix ist positiv definit, also sind alle 5 Extrempunkte lokales Minum!
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> ja, beim aufschreiben ist es mir auch aufgefallen! die
> hesse matrix ist positiv definit, also sind alle 5
> Extrempunkte lokales Minum!
Hallo,
ich hab' jetzt nicht den ganzen Thread studiert, das war mir zu langatmig.
Ich gebe aber zu bedenken:
5 Minima ohne Maximum bei so "harmlosen" Funktionen kommt mir strange vor...
Dir auch? (Warum?)
Dir nicht? (Warum?)
An Deiner Stelle würde ich jetzt mal zusammenstellen, was bisher getan wurde und die relevanten Zwischenergebnisse notieren. Vielleicht kommst Du Deinem Fehler, sofern es einen gibt, selbst auf die Spur.
Gruß v. Angela
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das kam mir ja auch komisch vor....nur wie soll ich minimum und maximum herausfinden, wenn ich die hessematrix insgesamt betrachten soll?
laut VL wurde zur hesse matrix gesagt:
wenn sie positiv definit ist, dann handelt es sich um ein isoliertes Minimum...
hmm...die vermuteten Extremstellen darf ich ja laut VL nicht so einfach in die 2. Ableitung einsetzen..
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Hallo,
ich kann mich nur wiederholen:
stelle nochmal übersichtlich mit den relevanten Zwischenergebnissen zusammen, was Du bisher getan hast und was Du daraus geschlossen hast.
Ich stelle es mir so vor, daß Du
1.die Funktion postest,
2.die partiellen Ableitungen hinschreibst,
3.sagst, welches Gleichungssystem zu lösen ist, wenn man die kritischen Punkte errechnen möchtest,
4. die errechneten kritischen Punkte nennst
5. die zweiten partiellen Ableitungen notierst
6. die Hessematrix (ohne etwas Eingesetztes) hinschreibst
7a.-7?. in die Hessematrix die kritischen Punkte einsetzt und jeweils dazuschreibst, ob die Matrix pos., neg. definit oder indefinit ist, und welche Schlüsse Du daraus ziehst.
Wenn das mal niedergelegt ist, kann man sinnvoll helfen.
> das kam mir ja auch komisch vor....
Warum?
> nur wie soll ich minimum
> und maximum herausfinden, wenn ich die hessematrix
> insgesamt betrachten soll?
Was sagt denn Dein Skript zum Thema?
Und was meinst Du mit "insgesamt betrachten"?
>
> laut VL wurde zur hesse matrix gesagt:
> wenn sie positiv definit ist, dann handelt es sich um ein
> isoliertes Minimum...
Ja.
>
> hmm...die vermuteten Extremstellen darf ich ja laut VL
> nicht so einfach in die 2. Ableitung einsetzen..
Ich weiß nicht, was Du meinst, aber das wird sich erschließen, wenn Du alles fein übersichtlich aufgeschrieben hast.
Gruß v. Angela
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Okay..also alles nochmal übersichtlich.
Gesucht sind die lokalen Extrema!
[mm] f(x,y)=(4x^2+y^2)exp(-x^2-4y^2)
[/mm]
[mm] f_{x}=-2x*e^{-x^2-4x^2}(x^2+y^2-4)
[/mm]
[mm] f_{y}=-2y*e^{-x^2-4x^2}(x^2+4y^2-1)
[/mm]
X=0 oder y=0 muss gelten.
1.Fall: x=0=y
Daher ergibt sich (0,0)
2.Fall: x=0 und [mm] y\not= [/mm] 0
[mm] 4y^2=1 [/mm] dann folgt: (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] und (0, [mm] -\bruch{1}{2})
[/mm]
3.Fall: [mm] x\not= [/mm] 0 und y=0
[mm] x^2=1 [/mm] dann folgt (1,0) und (-1,0)
Mögliche Extremstellen liegen also bei (0,0) ; (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] ; (0, [mm] -\bruch{1}{2}); [/mm] (1,0); (-1,0)
hireichendes Kriterium: 2.partielle Ableitungen
[mm] f_{xx}= e^{-x^2-4y^2}*(16x^4+4x^2(y^2-10)-2y^2+8)
[/mm]
[mm] f_{xy}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)
[/mm]
[mm] f_{yx}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)
[/mm]
[mm] f_{yy}= e^{-x^2-4y^2}(8x^2(8y^2-1)+16y^4-70y^2+8)
[/mm]
[mm] H_{f}(x,y)= \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yx} }
[/mm]
so und dann hab ich alle zweiten partiellen Ableitungen in die Hesse matrix eingesetzt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay..also alles nochmal übersichtlich.
>
> Gesucht sind die lokalen Extrema!
>
> [mm]f(x,y)=(4x^2+y^2)exp(-x^2-4y^2)[/mm]
>
> [mm]f_{x}=-2x*e^{-x^2-4x^2}(x^2+y^2-4)[/mm]
> [mm]f_{y}=-2y*e^{-x^2-4x^2}(x^2+4y^2-1)[/mm]
>
> X=0 oder y=0 muss gelten.
>
> 1.Fall: x=0=y
> Daher ergibt sich (0,0)
>
> 2.Fall: x=0 und [mm]y\not=[/mm] 0
> [mm]4y^2=1[/mm] dann folgt: (0, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] und (0,
> [mm]-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> 3.Fall: [mm]x\not=[/mm] 0 und y=0
> [mm]x^2=1[/mm] dann folgt (1,0) und (-1,0)
>
> Mögliche Extremstellen liegen also bei (0,0) ; (0,
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm] ; (0, [mm]-\bruch{1}{2});[/mm] (1,0); (-1,0)
>
>
> hireichendes Kriterium: 2.partielle Ableitungen
> [mm]f_{xx}= e^{-x^2-4y^2}*(16x^4+4x^2(y^2-10)-2y^2+8)[/mm]
>
> [mm]f_{xy}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)[/mm]
>
> [mm]f_{yx}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)[/mm]
>
> [mm]f_{yy}= e^{-x^2-4y^2}(8x^2(8y^2-1)+16y^4-70y^2+8)[/mm]
>
>
> [mm]H_{f}(x,y)= \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yx} }[/mm]
>
> so und dann hab ich alle zweiten partiellen Ableitungen in
> die Hesse matrix eingesetzt
Sei (a,b) [mm] \in \{(0,0) ; (0,\bruch{1}{2}); (0, -\bruch{1}{2}); (1,0); (-1,0)\}
[/mm]
Berechne [mm] H_f(a,b) [/mm] und prüfe auf positiv,- negativ- oder indefinit.
FRED
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> Okay..also alles nochmal übersichtlich.
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> Gesucht sind die lokalen Extrema!
>
> [mm]f(x,y)=(4x^2+y^2)exp(-x^2-4y^2)[/mm]
>
> [mm]f_{x}=-2x*e^{-x^2-4x^2}(x^2+y^2-4)[/mm]
> [mm]f_{y}=-2y*e^{-x^2-4x^2}(x^2+4y^2-1)[/mm]
Hallo,
die partiellen Ableitungen stimmen nicht!
>
> X=0 oder y=0 muss gelten.
>
> 1.Fall: x=0=y
> Daher ergibt sich (0,0)
>
> 2.Fall: x=0 und [mm]y\not=[/mm] 0
> [mm]4y^2=1[/mm] dann folgt: (0, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] und (0,
> [mm]-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> 3.Fall: [mm]x\not=[/mm] 0 und y=0
> [mm]x^2=1[/mm] dann folgt (1,0) und (-1,0)
>
> Mögliche Extremstellen liegen also bei (0,0) ; (0,
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm] ; (0, [mm]-\bruch{1}{2});[/mm] (1,0); (-1,0)
Diese Punkte passen zwar nicht zu den oben aufgeschriebenen partiellen Ableitungen, aber sie sind richtig.
Vielleicht hast Du die part. Ableitungen aus einer verkehrten Version abgeschrieben?
>
>
> hireichendes Kriterium: 2.partielle Ableitungen
> [mm]f_{xx}= e^{-x^2-4y^2}*(16x^4+4x^2(y^2-10)-2y^2+8)[/mm]
>
> [mm]f_{xy}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)[/mm]
>
> [mm]f_{yx}= 4xy*e^{-x^2-4y^2}*(16x^2+4y^2-17)[/mm]
>
> [mm]f_{yy}= e^{-x^2-4y^2}(8x^2(8y^2-1)+16y^4-70y^2+8)[/mm]
[mm] f_y_y [/mm] stimmt meines Erachtens nicht.
Rechne sicherheitshalber nochmal nach.
>
>
> [mm]H_{f}(x,y)= \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx} & f_{yx} }[/mm]
>
> so und dann hab ich alle zweiten partiellen Ableitungen in
> die Hesse matrix eingesetzt
Gruß v. Angela
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ja, danke für den Hinweis. [mm] f_{yy} [/mm] muss natürlich folgendermaßen heißen:
[mm] f_{yy}=e^{-x^2-4y^2}*(8x^2(8y^2-1)+64y^4-40y^2+2)
[/mm]
okay..dann hab ich folgendes:
[mm] Hess_{f}(0,0)= \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] ---> keine Extremstelle
[mm] Hess_{f}(0,\bruch{1}{2})= \pmat{ e^1 & 0 \\ 0 & -1,47 } [/mm] -----> keine Extremstelle
[mm] Hess_{f}(0,-\bruch{1}{2})= \pmat{ e^1 & 0 \\ 0 & -1,47 } [/mm] ----> keine Extremstelle
[mm] Hess_{f}(1,0)= \pmat{ -e^1 & 0 \\ 0 & -16,03 } [/mm] -----> lokales Min
[mm] Hess_{f}(-1,0)= \pmat{ -e^1 & 0 \\ 0 & -16,03 }------> [/mm] lokales Min
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Hallo Mathegirl,
> ja, danke für den Hinweis. [mm]f_{yy}[/mm] muss natürlich
> folgendermaßen heißen:
>
> [mm]f_{yy}=e^{-x^2-4y^2}*(8x^2(8y^2-1)+64y^4-40y^2+2)[/mm]
Diese partielle Ableitung stimmt immer noch nicht.
[mm]f_{yy}=e^{-x^2-4y^2}*(\blue{8x^2(8y^2-1)}+64y^4-40y^2+2)[/mm]
Der blau markierte Ausdruck ist nicht richtig.
>
> okay..dann hab ich folgendes:
>
> [mm]Hess_{f}(0,0)= \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] ---> keine
> Extremstelle
>
> [mm]Hess_{f}(0,\bruch{1}{2})= \pmat{ e^1 & 0 \\ 0 & -1,47 }[/mm]
> -----> keine Extremstelle
>
> [mm]Hess_{f}(0,-\bruch{1}{2})= \pmat{ e^1 & 0 \\ 0 & -1,47 }[/mm]
> ----> keine Extremstelle
>
> [mm]Hess_{f}(1,0)= \pmat{ -e^1 & 0 \\ 0 & -16,03 }[/mm] ----->
> lokales Min
>
> [mm]Hess_{f}(-1,0)= \pmat{ -e^1 & 0 \\ 0 & -16,03 }------>[/mm]
> lokales Min
>
Gruss
MathePower
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dann weiß ich es leider nicht....ich habe es mindestens 10 mal berechnet und komme immer auf das selbe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo rechne schrittweise vor.
gruss leduart
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okay...eine 32 muss an die stelle von den [mm] 8x^2
[/mm]
aber stimmt sonst soweit die hesse matrix mit den Extremstellen?
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du springst in deinen Fragen zwischen aufgaben hin und her. Wer soll hier den langen thread im Kopf haben, oder endlos durchscrollen?
gib dir doch bitte mühe immer ne vollständige frage zu stellen, du häst ja auch viele Helfer beschäftigt.
gruss leduart
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okay..ich wollte nur wissen ob meine Extremstellen zu der Aufgabe a) die ich vollständig mit Hesse matrix angegeben haben so stimmen, also ob (1,0) und (-1,0) extremstellen sind, und vor allem die einzigen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
H(0,0) ist falsch, ebenso H(1,0) und H(0,1)
wie kann man 2 Min haben, wenn kein Max dazwischen liegt?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | Mathegirl |
dann weiß ich es leider nicht...hab den ganzen Tag an der Aufgabe gesessen..ich gebs auf..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Dass in (0,0) ein absolutes Minimum vorliegt sieht man doch !
f(0,0)=0 und f(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 für alle (x,y)
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> das kam mir ja auch komisch vor....nur wie soll ich minimum
> und maximum herausfinden, wenn ich die hessematrix
> insgesamt betrachten soll?
>
> laut VL wurde zur hesse matrix gesagt:
> wenn sie positiv definit ist, dann handelt es sich um ein
> isoliertes Minimum...
>
> hmm...die vermuteten Extremstellen darf ich ja laut VL
> nicht so einfach in die 2. Ableitung einsetzen..
Da hast Du etwas gründlich mißverstanden ! Wofür habt Ihr den wohl den ganzen kram mit der Hessematrix gemacht ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> zu b) [mm]g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5[/mm]
>
> hmm..was amche ich, wenn ich die mögliche Extremstelle
> nicht in die zweite Ableitung einsetzen kann?
> z.B. [mm]f_{xx}=2[/mm]
Das ist doch nicht Dein Ernst ?
Fragen:
1. Nimm an, der Inhalt Deines Geldbeutels verändert sich von heute 11 Uhr bis heute 14 Uhr nicht.
Etwa: G(t)=25 € für t [mm] \in [/mm] [11 Uhr, 14 Uhr] (G= Inhalt Deines Geldbeutels)
Um 12 Uhr fragt Dich jemand, wieviel Geld Du momentan im Geldbeutel hast.
Du antwortest: "Keine Ahnung, was soll ich machen, ich kann 12 nicht in G einsetzen"
Echt goldig !
2. Wie erklärst Du Deinen späteren Schülern und Schülerinnen, dass eine auf [mm] \IR [/mm] konstante Funktion in jedem x [mm] \in \IR [/mm] den gleichen Funktionswert hat ?
FRED
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h(x,y)=sinx*siny
okay..stimmt es, dass die Extrema bei (90,0) und (0,90) liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> h(x,y)=sinx*siny
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> okay..stimmt es, dass die Extrema bei (90,0) und (0,90)
> liegen?
Nein
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
x nicht in Grad angeben bei Funktionen!
2. schau dir mal die Fläche an: was ist bei dir wohl noch falsch
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ich weiß es nicht......wie soll ich das dann angeben??
Mathegirl
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> ich weiß es nicht......wie soll ich das dann angeben??
>
> Mathegirl
in der analysis arbeitet man nur im bogenmass!
und dann bedenke hier, wie man schön in der zeichnung sieht, dass der sinus/cosinus hier und da periodisch ist..
gruß tee
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...ich stehe wohl echt gerade auf der leitung.......:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann mach nen spaziergang, denk in Rune nach und geh von der leitung runter.
wie gibst du denn in 1d alle extremwerte von sin(x) an?
Gruss leduart
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also müsste es [mm] (\pi, [/mm] 0) und (0, [mm] \pi) [/mm] sein??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein.
und hast du dir mein bild angesehen, siehst du da genau 2 Extrema?
gruss leduart
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okay...dann müsste es ja nur eine Extremstelle und zwar [mm] (\bruch{k*\pi}{2}, [/mm] 0) sien oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist jetzt k?
und wieviele Extrema siehst du auf meinem bils, das von x,y zwischen -12 und +12 gezeichnet ist?
bitte deine antworten so ausführlich wie die Hilfen.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Do 02.06.2011 | | Autor: | Mathegirl |
ich weiß es nicht...egal, gebs auf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> also müsste es [mm](\pi,[/mm] 0) und (0, [mm]\pi)[/mm] sein??
mein Gott, stocherst Du im Nebel !
Wir hatten: f(x,y)=sin(x)cos(y)
Es ist [mm] f(\pi,0)= [/mm] 0 und f(0, [mm] \pi)=0
[/mm]
Nenn mir ein [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit [mm] f(x_0,y_0)>0 [/mm] und ein [mm] (x_1,y_1) [/mm] mit [mm] f(x_1,y_1)<0
[/mm]
FRED
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