Extremalproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
| Aufgabe | In einem Kreis mit einem Radius r=8cm soll ein Rechteck eingezeichnet werden, dessen Eckpunkte alle auf dem Kreis liegen.
Welches Rechteck hat a.) den größten Flächeninhalt?
oder b.) den größten Umfang |
Wir haben mit diesem Thema gerade angefangen und stehe gerade vor einer nervlichen Katastrophe. Welche Sachen muss man dort beachten und wie sollte man dort rangehen.
Hab nun schon rausbekommen, das es wohl ein Quadrat sein muss und kein Rechteck und das d= 16 cm ist!
Hat jemand Lösungsvorschläge?
vielen dank im Vorraus
LG Jaene :)
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> In einem Kreis mit einem Radius r=8cm soll ein Rechteck
> eingezeichnet werden, dessen Eckpunkte alle auf dem Kreis
> liegen.
>
> Welches Rechteck hat a.) den größten Flächeninhalt?
> oder b.) den größten Umfang
> Wir haben mit diesem Thema gerade angefangen und stehe
> gerade vor einer nervlichen Katastrophe. Welche Sachen muss
> man dort beachten und wie sollte man dort rangehen.
> Hab nun schon rausbekommen, das es wohl ein Quadrat sein
> muss und kein Rechteck und das d= 16 cm ist!
>
> Hat jemand Lösungsvorschläge?
>
> vielen dank im Vorraus
>
> LG Jaene :)
>
> P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du weißt die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks, die ist A=a*b (wobei a und b die Seiten des Rechtecks sind). Weiterhin sollte dir bekannt sein, dass durch die Tatsache, dass alle Ecken des Rechtecks auf dem kreis liegen, die Diagonale des Rechtecks 16 cm beträgt. Daraus ergibt sich für a und b eine Bedingung, die du dazu nutzen kannst um eine Unbekannte aus der Funktion für den Flächeninhalt zu eliminieren. selbes gilt für die umfangsfunktion.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
Vielen dank für deine schnelle antwort, nur leider komme ich immer noch nicht weiter.
Habe jetzt d= 2r, d.h. d= 2*8 = 16 cm
u= [mm] 2\pi [/mm] r = [mm] \pi [/mm] d = 16 [mm] \pi [/mm] = 50,26548246
und A= [mm] \pi [/mm] r² = 201,0619298
und nun stecke ich fest :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen dank für deine schnelle antwort, nur leider komme
> ich immer noch nicht weiter.
> Habe jetzt d= 2r, d.h. d= 2*8 = 16 cm
> u= [mm]2\pi[/mm] r = [mm]\pi[/mm] d = 16 [mm]\pi[/mm] = 50,26548246
> und A= [mm]\pi[/mm] r² = 201,0619298
Was rechnest Du da ? Du hast nur berechnet den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises mit radius 8
Das ist zwar richtig gerechnet, nur gefragt hat danach niemand ....
Es geht in der Aufgabe um den Flächeninhalt des einbeschr. Rechtecks
Gehen wir davon aus, dass diese die Seitenlängen a und b hat.
Der Flächeninhalt ist dann A=ab. MontBlanc hat es schon gesagt: die Länge der Diagonlen dieses Recht ecks ist = 16.
Nun bemühen wir Pythagoras und erhlten:
$b= [mm] \wurzel{16-a^2}$
[/mm]
Edit: es muß $b= [mm] \wurzel{256-a^2}$ [/mm] lauten
Somit hängt der Flächeninhalt nur von a ab:
$A(a) = a*b = a* [mm] \wurzel{256-a^2}$
[/mm]
Du sollst nun a (und damit auch b) so bestimmen, dass der Flächeninhalt maximal wird.
Mit dem Umfang solltest Du nun klar kommen
FRED
>
> und nun stecke ich fest :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
Wenn ich wüsste was ich da machen, wäre ich hier fehl am platz ;)
erstmal herzlichen danke für die Ansatzhilfe, denke mal das ich es nun habe:
e= 16 (also die diagonale)
A= a*b
b= [mm] \wurzel{16-a^2}
[/mm]
A(a) = a*(16-a)
A(a) = a²+16a
A´(a) = -2a+16
A´´(a) = -2
A´(a) = 0
0 = -2a+16 |-16
-16 = -2a |: (-2)
8 = a
[mm] \Rightarrow \wurzel{2*8^2} [/mm] = 11,3137085 FE
Hoffe das ich nun den weg richtig habe :/
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wenn ich wüsste was ich da machen, wäre ich hier fehl am
> platz ;)
Das stimmt ja so nun auch nicht :)
> erstmal herzlichen danke für die Ansatzhilfe, denke mal
> das ich es nun habe:
>
> e= 16 (also die diagonale)
> A= a*b
> b= [mm]\wurzel{16-a^2}[/mm]
>
> A(a) = a*(16-a)
Was hast du denn hier gemacht ? Einfach die Wurzel weggelassen...
> A(a) = a²+16a
>
> A´(a) = -2a+16
>
> A´´(a) = -2
>
> A´(a) = 0
> 0 = -2a+16 |-16
> -16 = -2a |: (-2)
> 8 = a
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{2*8^2}[/mm] = 11,3137085 FE
>
> Hoffe das ich nun den weg richtig habe :/
>
Musst du leider nochmal machen...
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
nee, nicht weggelassen, sondern schon ausgerechnet,
b= [mm] \wurzel{16-a^2}
[/mm]
A(a) = a* [mm] \wurzel{16-a^2}
[/mm]
A(a) = a*(16-a)
aber *piep*, das ist ja nicht 16 sondern 4
A(a) = a*(4-a)
A(a) = -a²+4a
A´(a) = -2a+4
A´´(a) = -2
A´(a) = 0
0 = -2a+4 |-4
-4 = -2a |: (-2)
2 = a
[mm]\Rightarrow \wurzel{2*2^2}[/mm] = 2,828427125 FE
ohman, ihr musst mich ja schon echt für nen mathedeppen halten....
ich bekomm schon mit, irgentwas ist immer noch falsch :(
nur was?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Das ist ja schlimm ..............
Bei Dir ist also
$ [mm] \wurzel{16-a^2}= [/mm] 4-a $.
Bei mir ist das nicht so. Nehmen wir mal a=2. Dann ist [mm] \wurzel{16-a^2}= \wurzel{16-4}= \wurzel{12} [/mm] und 4-a= 2. Somit erhalten wir die bahnbrechende Erkenntnis:
$2= [mm] \wurzel{12}$
[/mm]
Wenn man das quadriert ergibt sich: 4=12. Teilt man noch durch 4 , so haben wir
1=3
Wow ! Wer liegt nun richtig ? Du oder ich ? Ich ! Denn, im allgemeinen ist
[mm] $\wurzel{a^2-b^2} \ne [/mm] a-b$
Nie wieder vergessen !!!!!!!!!!!!!!!!!
FRED
Edit: heute bin ich auch nicht so gut bei der Sache: in obiger Antwort von mir muß es $b= [mm] \wurzel{16^2-a^2}$ [/mm] lauten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
hmm... aber wenn man die wurzel aus [mm] 16^2 [/mm] zieht, ist es dann nicht wieder 16?
also auch die wurzel aus [mm] a^2 [/mm] gleich a?
|
|
|
| |
|
Hallo, ja schon, du kannst die Wurzel aus 256 ziehen, ebenso die Wurzel aus [mm] a^{2}, [/mm] hier hast du doch aber die Wurzel aus [mm] 256-a^{2}, [/mm] eine Summe, bitte nochmals, siehe auch fred97, nie die Wurzel aus jedem Summanden einzeln ziehen, niemals, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
oki doki... dann heißt es also, das [mm] \wurzel{256-a^2} [/mm] = [mm] 16-a^2 [/mm] ist?
ich bin jetzt noch verwirrter als zum anfang :(
|
|
|
| |
|
Hallo, leider auch nein, gehen wir mal zum Rechteck zurück:
A(a,b)=a*b weiterhin hast du [mm] b=\wurzel{256-a^{2}} [/mm] deine Nebenbedingung, lasse die so stehen, jetzt in die Hauptbedingung einsetzen
[mm] A(a)=a*\wurzel{256-a^{2}}
[/mm]
deine Fläche ist jetzt nur noch von a abhängig, jetzt kannst du die Extremwertbetrachtung machen
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
erstmal nochmal danke für die viele geduld =)
das mit A(a) = a*b
[mm] b=\wurzel{256-a^2}
[/mm]
und somit
A(a) = a* [mm] \wurzel{256-a^2}
[/mm]
das habe ich ja....
aber ich muss ja aus dem [mm] \wurzel{256-a^2} [/mm] Teil ja "ausrechnen" um weiter rechnen zu können?!
daher hab ich nur diesen teil erstmal nur notiert.
und wenn ich nach meiner "Logik" weiter gehe
müsste es ja dann
A(a) = a* (16-a) sein?!
|
|
|
| |
|
Hallo, ich darf mal ganz scharf vermuten der Leistungskurs 13 hatte schon Extremwertaufgaben, ebenso 1. Ableitungen, also 1. Schritt die Nullstelle der 1. Ableitung bestimmen, die Ableitungsregeln kennst du auch schon, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Jaene |
ja, sicher... hatte mit differenzial und integrallrechnung noch nie probleme
hab da auch meine 1,0
aber mir fehlen 2h mathe (wegen krankheit) und verstehe dadurch von diesem thema überhaupt nicht´s (wie man ja sieht)
und mittlerweile verblöde ich sogar an einer einfachen wurzelaufgabe ^^
|
|
|
| |
|
Hallo, dann wollen wir mal das vorhandene Wissen aufwecken, um die Extremstelle einer Funktion zu bestimmen, ist zu untersuchen, an welcher Stelle die 1. Ableitung gleich Null ist, über die 2. Ableitung kannst du dann entscheiden, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, du hast die Funktion
[mm] A(a)=a*\wurzel{256-a^{2}}
[/mm]
da Wurzeln nicht dein Ding sind, nehmen wir die Produktregel
u=a somit u'=1
[mm] v=\wurzel{256-a^{2}}=(256-a^{2})^{0,5} [/mm] somit [mm] v'=0,5*(-2a)*(256-a^{2})^{-0,5}
[/mm]
der Faktor (-2a) entsteht durch die innere Ableitung nach Kettenregel, so jetzt mache mal Produktregel
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo,
Warum denkst du immer noch das: [mm] \wurzel{16^2- a^2}=16 [/mm] - a ist??
Es gilt wenn dann nur Folgendes:
[mm] \wurzel{16^2- a^2} [/mm] = [mm] \wurzel{16^2*(1-\bruch{a^2}{16^2})}= \wurzel{16^2}* \wurzel{1-\bruch{a^2}{16^2}} [/mm] = [mm] 16*\wurzel{1-\bruch{a^2}{16^2}}.
[/mm]
Es gilt im Allgemeinen [mm] \wurzel{a +b} \not= \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}, [/mm] für a, b [mm] \in \IR^{+} [/mm] genauso bei Subtraktion statt Addition
Nimm doch mal als Beispiel: 5= [mm] \wurzel{5^2}= \wurzel{25} [/mm] = [mm] \wurzel{9+16} [/mm] = [mm] \wurzel{3^2 +4^2} \not= \wurzel{3^2} [/mm] + [mm] \wurzel{4^2} [/mm] = 3+4= 7
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo fred97, es lautet doch
[mm] 16^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] b=\wurzel{256-a^{2}}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97, es lautet doch
>
> [mm]16^{2}=a^{2}+b^{2}[/mm]
>
> [mm]b=\wurzel{256-a^{2}}[/mm]
>
> Steffi
Du hast recht !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
steh ich jetzt vollkommen neben mir ?
EDIT: Offenbar schon!!
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> steh ich jetzt vollkommen neben mir ?
>
> Die Diagonale des rechtecks ist 16 cm lang, sie bildet die
> Hypothenuse im Dreieck bestehend aus a, b und eben der
> diagonalen. und darin gilt dann
>
> [mm]16=4^2=a^2+b^2[/mm] ...
>
> oder nicht ?
Steffi hat schon recht: Die diagonale hat die Länge c=16
Pythagoras: [mm] c^2= a^2+b^2
[/mm]
FRED
>
> Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
oha,
ich hab ja echt tomaten auf den augen............
das tut ja schon weh.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> oha,
>
> ich hab ja echt tomaten auf den augen............
ich auch ...
>
> das tut ja schon weh.
ich fühle mit Dir
FRED
>
> lg
|
|
|
|
