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Hallo,
leider muss ich diese Aufgabe für morgen schon haben, komme aber überhaupt nicht zu einem ansatz:
Einem gleichseitigem Dreieck der Seitenlänge a soll ein Rechteck mit den Seitenlängen 2x und y so einbschriben werden, dass dessen Umfang extremal wird.
(2x soll die waagerechte Seite des Rechtecks sein.)
Gruß Patrick
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Di 20.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Patrick!
> Einem gleichseitigem Dreieck der Seitenlänge a soll ein
> Rechteck mit den Seitenlängen 2x und y so einbschriben
> werden, dass dessen Umfang extremal wird.
>
>
> (2x soll die waagerechte Seite des Rechtecks sein.)
Warum heißen denn die Seiten nicht einfach x und y? Oder wird für x noch irgendwas angegeben? Oder soll es vielleicht einfach heißen, dass die eine Seite doppelt so lang ist wie die andere? Also x und 2x bzw. y und 2y?
Und wie rum ist dein Dreieck? Ich vermute, die Spitze ist oben? (wenn du schon sagst, dass 2x die waagerechte Seite sein soll...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 20.09.2005 | | Autor: | XPatrickX |
Ich kann dir gar nicht richtig sagen, warum die Seite nicht x sondern 2x heißt, hat micht auch gewundert.
Ich denke es ist einfacher, wenn man von x ausgeht und am Ende einfach x noch einmal halbiert.
Ich lade noch einmal hier das Bild hoch zu der Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Patrick!
Ich mache es erstmal etwas kürzer, weil du es ja eilig hast. Bei Fragen darfst du aber gerne nachfragen, dann helfe ich dir weiter. Aber vielleicht schaffst du das dann ja auch schon alleine.
Also, der Umfang soll ja maximal werden, und mit deinen Bezeichnungen ist es dann:
U=4x+2y
Nun müssen wir irgendwie x und y in Verbindung miteinander bringen. Ich weiß gar nicht, ob man das noch anders machen kann, aber ich stelle mir in diesem Fall einen Teil des Dreiecks (die rechte Seite, die von der Spitze oben nach rechts unten geht) also Funktion vor. Und deswegen heißt das wohl auch 2x (ist mir eingefallen, als ich dein Bild gesehen habe), weil die Spitze ja in der Mitte ist und du quasi genau dadurch die y-Achse eines Koordinatensystems legen kannst. Und so stelle ich mir das auch vor. Dann ist die rechte Dreiecksseite eine Gerade und du kannst y in Abhängigkeit von x angeben, wenn du nur diese Geradengleichung aufstellst.
Und das habe ich mal mit Pythagoras gemacht: Zeichne dir wirklich mal eine "y-Achse" ein. Es ist dann quasi die Höhe des Dreiecks. Du hast dann auf der Grundfläche rechts die Kathete [mm] \bruch{a}{2}, [/mm] und rechts, unsere Gerade, ist die Hypothenuse unseres gleichseitigen Dreiecks, die Seitenlänge kennen wir, es ist a. Also haben wir nach Pythagoras:
[mm] a^2=h^2+(\bruch{a}{2})^2
[/mm]
Ich erhalte dann für h:
[mm] h=\bruch{\wurzel{3}a}{2}
[/mm]
hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet.
Wenn du daraus nun die Steigung für unsere Gerade berechnest:
[mm] m=-\bruch{\bruch{a}{2}}{\bruch{\wurzel{3}a}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \red{\mbox{Achtung! das war falsch!!! es muss heißen: } m=-\bruch{\bruch{\wurzel{3}a}{2}}{\bruch{a}{2}}=-\wurzel{3}}
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt, aber notfalls kannst du mal ein gleichseitiges Dreieck zeichnen und nachmessen, ob das hinkommt.
Naja, und jetzt kannst du eine Geradengleichung aufstellen (du kennst ja auch zwei Punkte, nämlich den rechten Eckpunkt des Dreiecks und die Spitze) und somit hast du y und x in Verbindung gebracht.
Kommst du mit dieser Erklärung klar?
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:36 Di 20.09.2005 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo Bastian,
also dein "Anfang" klingt schon mal gut und logisch. Trotzdem komm ich nicht ganz weiter.
> Ich erhalte dann für h:
>
> [mm]h=\bruch{\wurzel{3}a}{2}[/mm]
>
> hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet.
Das müsste stimmen, habe ich nämlich auch raus.
> Wenn du daraus nun die Steigung für unsere Gerade
> berechnest:
>
> [mm]m=-\bruch{\bruch{a}{2}}{\bruch{\wurzel{3}a}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
Auch das stimmt. Wenn man das Minus mitnimmt am Ende 
Eigentlich reicht mir doch jetzt der Punkt an der Dreiecksspitze: [mm] P(0|\bruch{\wurzel{3}a}{2})
[/mm]
Mit der Steigung m kann ich ja dadurch b ausrechnen von y = mx +b
Bzw. b ist natürlich logischerweise die Höhe des Dreiecks wenn die y-Achse in der Mitte verläuft. Daher ist die Gerade so:
g(x) = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{3}}x [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{3}a}{2}
[/mm]
Außerdem stimmt natürlich die Umfanggleichung:
U = 4x + 2y
Leider komme ich jetzt nicht weiter. WEnn ich die Geradengleichung in die Umfangsgleichung einsetze kommt da für mich u = 2,84x [mm] +\wurzel{3}a [/mm] raus. Aber wie kann ich da weiter machen.
Danek im Vorraus.
Gruß Patrick
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Hallo Patrick!
> Hallo Bastian,
ich heiße übrigens Bastiane
> also dein "Anfang" klingt schon mal gut und logisch.
> Trotzdem komm ich nicht ganz weiter.
Super, dass du das alles verstanden hast.  ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> > Ich erhalte dann für h:
> >
> > [mm]h=\bruch{\wurzel{3}a}{2}[/mm]
> >
> > hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet.
>
>
> Das müsste stimmen, habe ich nämlich auch raus.
>
>
> > Wenn du daraus nun die Steigung für unsere Gerade
> > berechnest:
> >
> > [mm]m=-\bruch{\bruch{a}{2}}{\bruch{\wurzel{3}a}{2}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> Auch das stimmt. Wenn man das Minus mitnimmt am Ende
Ja, natürlich. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> Eigentlich reicht mir doch jetzt der Punkt an der
> Dreiecksspitze: [mm]P(0|\bruch{\wurzel{3}a}{2})[/mm]
Ja, das mit den zwei Punkten hatte ich auch irgendwie nur noch schnell hinzugefügt, falls du nicht weißt, wie das denn jetzt geht. Da habe ich wohl zu kurz drüber nachgedacht. Es reicht natürlich ein Punkt bzw. das b...
> Mit der Steigung m kann ich ja dadurch b ausrechnen von y =
> mx +b
> Bzw. b ist natürlich logischerweise die Höhe des Dreiecks
> wenn die y-Achse in der Mitte verläuft. Daher ist die
> Gerade so:
>
> g(x) = [mm]-\bruch{1}{\wurzel{3}}x[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{3}a}{2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Außerdem stimmt natürlich die Umfanggleichung:
>
> U = 4x + 2y
>
>
> Leider komme ich jetzt nicht weiter. WEnn ich die
> Geradengleichung in die Umfangsgleichung einsetze kommt da
> für mich u = 2,84x [mm]+\wurzel{3}a[/mm] raus. Aber wie kann ich da
> weiter machen.
Normalerweise runde ich erst ganz zum Schluss, damit auch wirklich nicht durch zu viele Rundungsfehler das Ergebnis verfälscht wird. Aber hier bin ich mir nicht so sicher, ob man da mit den vielen [mm] \wurzel{3}'s [/mm] weiterrechnen kann.
So, wie es jetzt weiter geht? Wahrscheinlich verwirrt dich, dass da noch ein a in der Gleichung steht. Dann stell dir doch einfach mal vor, die Seitenlänge des Dreiecks wäre 1. Dann stände da statt dem a eine 1. Und was machst du dann, wenn der Umfang maximal sein soll? Du berechnest einen Hochpunkt. Deine Umfangsfunktion hängt ja jetzt nur noch von x ab, also kannst du die Ableitung bilden, =0 setzen, und überprüfen, ob die zweite Ableitung auch <0 ist, damit du einen Hochpunkt hast.
Lass dich von dem a nicht verwirren, es ist einfach eine Konstante und fällt somit schon bei der ersten Ableitung weg.
Aber ich stelle gerade fest, dass die Ableitung nirgendwo 0 wird, oder ich habe grad ein Brett vorm Kopf. Sorry, ich werde nochmal drüber nachdenken, ob wir vielleicht irgendwas falsch gemacht haben. Aber erstmal poste ich das hier doch schon mal...
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 20.09.2005 | | Autor: | XPatrickX |
oh ja ich wollte dich nicht zum Mann mutieren lassen, Bastiane.
Das kommt einfach wenn man zu schnell schreibt...
Zur Aufgabe:
Eben, dass hat mich auch gewundert, dass ja dann eifnach das x schon wegfällt und u'(x) = 2,84 ist.
0 = 2,84 das macht ja dann irgendwie keinen Sinn.
Naja entweder du oder jemand anders hat noch eine Idee, ansonsten werde ich die Lösung morgen erfahren.
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 20.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Aber du bist sicher, dass der Umfang maximal werden soll und nicht vielleicht der Flächeninhalt?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Di 20.09.2005 | | Autor: | XPatrickX |
Ja in der Aufgabe steht auf jeden Fall Umfang! Allerdings ist es ein Arbeitsblatt von unserer Lehrerin und keine Aufgabe aus dem Buch.
Mit dem Flächeninhalt wird das logischerweise viel einfacher gehen, weil ja dann ein quadratische Gleichung entsteht.
Ich werde das mal durchrechnen und posten ob ich zu einem Ergebnis komme.
lg Patrick
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Hi, ich habe das ganze Mal durchgerechnet für den Flächeninhalt. Stimmt das so? Den Fehler bei der Steigung habe ich berücksichtigt:
A = y * 2x
g(x) = [mm] -\wurzel{3}x+\bruch{\wurzel{3}a}{2}
[/mm]
nun das y ersetzen un die ganzen Geradenfunktion mit 2x multiplizieren:
A(x) = [mm] -2\wurzel{3}x^{2}+\wurzel{3}ax
[/mm]
A'(x) = [mm] -4\wurzel{3}x+\wurzel{3}a
[/mm]
A'(x) = 0
0 [mm] =-4\wurzel{3}x+\wurzel{3}a
[/mm]
[mm] -\wurzel{3}a [/mm] = [mm] -4\wurzel{3}x
[/mm]
1/4a = x
da wir aber 2x suchen:
2x = 1/2a
Kann das so stimmen?
Patrick
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Hallo Patrick!
Das sieht alles sehr gut aus! Das habe ich auch erhalten.
Nun musst Du lediglich über die 2. Ableitung nachweisen, dass es sich auch wirklich um ein Maximum handelt: [mm] $A''(x_e) [/mm] \ < \ 0$ !
Außerdem sollte man dann noch der Vollständigkeit halber die beiden Werte [mm] $y_e$ [/mm] sowie [mm] $A_{max} [/mm] \ = \ [mm] A(x_e)$ [/mm] angeben.
Gruß vom
Roadrunner
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