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| Aufgabe | | Es seien $E$ und $E'$ endlich-dimensionale Vektorräume, $K [mm] \subseteq [/mm] E, L [mm] \subseteq [/mm] E'$ konvexe Mengen. Bestimme die Extremalpunkte des kartesischen Produktes $K [mm] \times [/mm] L$. |
Hallo Leute,
ich finde den Ansatz zu dieser Aufgabe einfach nicht. Die Extremalpunkte des kartesischen Produkts zweier beliebiger konvexer Mengen....da bin ich echt ratlos und für jede noch so kleine Hilfe dankbar.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
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> Es seien [mm]E[/mm] und [mm]E'[/mm] endlich-dimensionale Vektorräume, [mm]K \subseteq E, L \subseteq E'[/mm]
> konvexe Mengen. Bestimme die Extremalpunkte des
> kartesischen Produktes [mm]K \times L[/mm].
> Hallo Leute,
>
> ich finde den Ansatz zu dieser Aufgabe einfach nicht. Die
> Extremalpunkte des kartesischen Produkts zweier beliebiger
> konvexer Mengen....da bin ich echt ratlos und für jede
> noch so kleine Hilfe dankbar.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus.
Hallo rainman_do,
Es seien ext(K), ext(L) und ext [mm] (K\times{L}) [/mm] die Mengen der Extre-
malpunkte von K und L in ihren jeweiligen Räumen. Nun wäre
doch eine einfache Vermutung, dass ext [mm] (K\times{L}) [/mm] = ext(K) [mm] \times [/mm] ext(L)
sein könnte.
Versuche dir dies zuerst an Beispielen zu überlegen und
dann möglicherweise zu einem Beweis zu kommen.
LG Al-Chw.
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Hallo und vielen Dank für die Antwort. Ich habe mir nun ein paar Gedanken darüber gemacht und kann es mir nun zumindest schon mal vorstellen, dass es so sein muss (und es ist ja auch logisch). Ok, dann hab ich mir überlegt, dass die Extrempunkte einer konvexe Menge ja gerade ihre Ecken sind, oder? Also laut unserer Definition, wenn es keine Punkte [mm] $Q_1,Q_2$ [/mm] aus der konvexen Menge $S$ gibt, so dass der Punkt $P$ geschrieben werden kann als [mm] $P=t\cdot Q_1 [/mm] + [mm] (1-t)\cdot Q_2$ [/mm] usw. dann ist $P$ Extremalpunkt. Das heißt ja, dass $P$ nicht auf einer Strecke zwischen zwei anderen Punkten liegen darf (es sei denn [mm] $Q_1$ [/mm] oder [mm] $Q_2$ [/mm] ist gleich $P$).
Gut. Aber jetzt fällt es mir schwer daraus einen Beweis für das kartesische Produkt zu basteln. Also erstmal zur Form: In $ext(K) [mm] \times [/mm] ext(L)$ "leben" doch Tupel von der Form $(k,l)$ wobei [mm] $k\in [/mm] ext(K)$ und [mm] $l\in [/mm] ext(L)$. Nehmen wir einen solchen Tupel $(k,l)$ heraus. Aber wie zeige ich denn nun, dass dieses $(k,l)$ nicht auf einer Gerade zweier anderer verschiedener Punkte in $K [mm] \times [/mm] L$ liegt?
Und dann noch etwas zum Formalen: Müsste ich da nicht eigentlich eine Mengengleichheit zeigen. Also die beiden Inklusionen $ext(K [mm] \times [/mm] L) [mm] \subseteq [/mm] ext(K) [mm] \times [/mm] ext(L)$ und anders herum?
Und muss ich evtl. noch solche Schmutzigkeiten zeigen wie, dass $K [mm] \times [/mm] L$ überhaupt wieder konvex ist?
Fragen über Fragen....Aber vielen Dank schon mal im Voraus für die viele Mühe
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> Hallo und vielen Dank für die Antwort. Ich habe mir nun
> ein paar Gedanken darüber gemacht und kann es mir nun
> zumindest schon mal vorstellen, dass es so sein muss (und
> es ist ja auch logisch).
Naja, mit einer vermutlich plausiblen "Logik" kann man sich
auch besonders in mathematischen Dingen bekanntlich so
ziemlich die Finger verbrennen ...
> Ok, dann hab ich mir überlegt,
> dass die Extrempunkte einer konvexe Menge ja gerade ihre
> Ecken sind, oder? Also laut unserer Definition, wenn es
> keine Punkte [mm]Q_1,Q_2[/mm] aus der konvexen Menge [mm]S[/mm] gibt, so dass
> der Punkt [mm]P[/mm] geschrieben werden kann als [mm]P=t\cdot Q_1 + (1-t)\cdot Q_2[/mm]
> usw. dann ist [mm]P[/mm] Extremalpunkt. Das heißt ja, dass [mm]P[/mm] nicht
> auf einer Strecke zwischen zwei anderen Punkten liegen darf
> (es sei denn [mm]Q_1[/mm] oder [mm]Q_2[/mm] ist gleich [mm]P[/mm]).
Nein, nicht nur Eckpunkte können Extremalpunkte sein.
Beispielsweise ist die Menge [0;1] [mm] \times [/mm] [0;1] [mm] \times [/mm] [0;1]
(abgeschlossener Würfel) eine konvexe Menge, bei der die
gesamte Oberfläche nur aus Extremalpunkten besteht - also
keines wegs nur die 8 Eckpunkte ...
Alle Extremalpunkte außer den 8 Eckpunkten kann man in
der angegebenen Weise als Linearkombination aus 2
anderen Extrempunkten darstellen.
(Später ev. mehr, zur Hauptaufgabe - falls ich dazu komme ...)
LG Al-Chw.
Nachtrag:
Sorry, ich glaube, dass ich oben nicht die richtige Definition
des Begriffs "Extremalpunkt einer konvexen Menge" angewandt
habe.
Trotzdem bleibt gültig, dass Extremalpunkte nicht unbedingt
"Eckpunkte" sein müssen. Auch Punkte, in welchen die Rand-
kurve bzw. Randfläche differenzierbar ist, können Extremal-
punkte sein.
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Hallo und danke für die Antwort. Ich hab mir die ganze Zeit ein Polytop vorgestellt und nicht eine ganz allgemeine konvexe Menge, da lag auch mein Denkfehler. Bei Polytopen gilt das ja mit den Ecken, zumindest steht bei mir im Skript "Die Extremalpunkte eines Polytops sind genau seine Ecken". Trotzdem kann ich mir das mit der Beweisführung noch nicht vorstellen. Ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll...Hast du viellicht noch ne Idee?
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Hallo Zusammen,
ich hab mir überlegt wie man das beweisen könnte:
Ich will die Gleichheit der beiden Mengen $ext(K [mm] \times [/mm] L)$ und $ext(K) [mm] \times [/mm] ext(L')$ zeigen. Die erste Inklusion wäre dann doch z.B. so:
$ext(K [mm] \times [/mm] L) [mm] \subseteq [/mm] ext(K) [mm] \times [/mm] ext(L)$: Sei [mm] $(a,b)\in [/mm] ext(K [mm] \times [/mm] L) $, dann gibt es kein [mm] $(q_1,q_2),(q_1',q_2') \in [/mm] K [mm] \times [/mm] L$ mit [mm] $(a,b)=t\cdot(q_1,q_2)+(1-t)(q_1',q_2')$. [/mm] Ich will nun zeigen, dass dann $a$ in $ext(K)$ und $b$ in $ext(L)$ liegen muss. Einfache Umformung des obigen Terms ergibt
[mm] $(a,b)=(tq_1,tq_2)+((1-t)q_1',(1-t)q_2')$
[/mm]
[mm] $(a,b)=(tq_1 +(1-t)q_1',tq_2+(1-t)q_2')$
[/mm]
Angenommen $a$ und $b$ wären keine Extremalpunkte von $K$ bzw. $L$, dann würden [mm] $q_1,q_1',q_2,q_2'$ [/mm] mit dieser Eigenschaft existieren, dann wäre aber zwangsweise (a,b) kein Extremalpunkt von $K [mm] \times [/mm] L$.
Klingt eigentlich ganz logisch, oder? kann man das wohl so machen??
Viele Dank schon mal im Voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 09.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 08.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 08.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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