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Extrempunkt - Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Fr 20.05.2005
Autor: michaelw

Hallo,

ich habe hier die Funktion:

[mm] \bruch{8}{x+t}* [/mm] ln (x+t)

und den Extrempunkt errechnet:

[mm] x_{e} [/mm] = e - t

Nun habe ich die Aufgabe: "Ermittle ein Gleichung auf der alle Extrempunkte der Funktion liegen!"

Ich stelle den Extrempunkt nach t um:

t = e - x

und setze das in die Ausgangsfunktion ein und erhalte:

g(x) =  [mm] \bruch{8}{e} [/mm]

So, dass ist ja nicht schwer, nur würde ich jetzt gern wissen warum man das so macht? Ich kann mir das besser merken wenn ich ne Logik dahinter erkenne.

Hat Jemand ne Antwort?

Danke!

        
Bezug
Extrempunkt - Gleichung: Hilfe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Fr 20.05.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Michael,

nun: Im Normalfall würdest Du ja nach der x-Koordinaten des Extrempunkts (x = e - t) die y- Koordinate durch Einsetzen in den Funktionsterm ausrechnen. Bei Dir kommt raus y = f(e-t) = [mm] \bruch{8}{e}. [/mm]

Also: E(e - t;  [mm] \bruch{8}{e}). [/mm]

Normalerweise wäre nun auch die y-Koordinate dies Punkts vom Parameter t abhängig. Dann müsstest Du das t "eliminieren", indem Du - wie Du's als erstes getan hast -
x = ... nach t auflöst und dieses in y = ... einsetzt.
Dann hast Du die y-Koordinate von E in Abhängigkeit von seiner x-Koordinaten, also: die Gleichung der Ortslinie.
Wie Du nun leicht erkennst, kommt bei Deiner Methode dasselbe raus, wenn Du also den Zwischenschritt, d.h. die Berechnung von [mm] y_{E} [/mm] einfach weglässt und t direkt in f(x) einsetzt.

(PS: Da bei Dir g(x) = konst. ist, handelt es sich bei Deiner Ortslinie um eine waagrechte Gerade.)


Bezug
                
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Extrempunkt - Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Fr 20.05.2005
Autor: michaelw

Danke! Hab gleich noch ne Frage:

"Die Tangente an den Graphen [mm] f_{t} [/mm] im Punkt [mm] R(0,f_{t}(0)) [/mm] und die Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Berechne den Wert t für den das Dreieck den Flächeninhalt A = 48,96 FE hat"

So, hier mein Ansatz:

Punkt R (0;  [mm] \bruch{8}{t}*ln [/mm] t) ermittelt

Tangente aufgestellt (mit 1. Ableitung m errechnet und dann n, Koordinaten in y = mx + n eingesetzt)

y =  [mm] \bruch{8}{t²}*(-ln [/mm] t + 1) * x +  [mm] \bruch{8}{t} [/mm] * ln t

dann den Schnittpunkt dieser Tangente mit der Y Achse:

[mm] S_{y} [/mm] (0;  [mm] \bruch{8}{t} [/mm] * ln t)

Dann bräuchte ich noch den Schnittpunkt von der Tangente mit der x-Achse und könnte dann mit

A =  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * a * b den Flächeninhalt berechnen

Doch ich kriege den Schnittpunkt mit der x - Achse nicht heraus, die Gleichung der Tangente null setzen und umstellen klappt nicht.

Wie würdet ihr das lösen, oder machen ich was falsch?

Danke!!

Bezug
                        
Bezug
Extrempunkt - Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 20.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo michaelw,

du schreibst :

> Dann bräuchte ich noch den Schnittpunkt von der Tangente
> mit der x-Achse und könnte dann mit
>  
> A =  [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * a * b den Flächeninhalt berechnen
>  
> Doch ich kriege den Schnittpunkt mit der x - Achse nicht
> heraus, die Gleichung der Tangente null setzen und
> umstellen klappt nicht.

  Bei mir hat es doch geklappt (ich habe die 1. Ableitung nicht nachgerechnet, gehe davon aus, dass die richtig ist)
Gleichung deiner Tangente gleich Null zu setzen :  

[mm]\bruch{8}{t²}*(-\ln t + 1) * x + \bruch{8}{t}* \ln t [/mm]= 0

[mm]\bruch{8}{t²}*(-\ln t + 1) * x = - \bruch{8}{t} * \ln t [/mm]

x =   [mm]\bruch {- \bruch{8}{t} * \ln t}{ \bruch{8}{t²}*(-\ln t + 1)}[/mm]

=  [mm]\bruch {- \bruch{8}{t} * \ln t}{ \bruch{8}{t*t}*(-\ln t + 1)}[/mm]

=[mm]\bruch {- \ln t}{ \bruch{1}{t}*(-\ln t + 1)}[/mm]

=[mm]\bruch {- \ln t*t}{ (- \ln t + 1)}[/mm]

=[mm]\bruch {-\ln t*t}{ -\ln t*( 1 -\bruch{1}{\ln t})}[/mm]

=[mm]\bruch {t}{ 1 -\bruch{1}{\ln t}}[/mm]


Also schneidet die Tangente x-Achse bei (0 | [mm]\bruch {t}{ 1 -\bruch{1}{\ln t}}[/mm])
Natürlich , alle Angaben ohne Gewähr ))

vielleicht konnte ich dir damit weiterhelfen

weiterhin viel Spaß bei Mathe

NanoSusi

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