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Forum "Algebra" - Extremstelle berechnen
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Extremstelle berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

Aufgabe
Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , f(x) = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2 besitzt an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] >0 ein lokales Minimum mit Funktionswert: [mm] f(x_{0})=1. [/mm]
Berechnen Sie diese Stelle [mm] x_{0}. [/mm]

Hallo,
Also zunächst mal muss ja [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] -  2x + 2=1 sein und des weiteren muss f´(x)=0 sein, also [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 6x^{2} [/mm] - 2x - 2=0. Nur wie mach ich an der Stelle weiter? Wenn ich ein x finden würde, bei dem die Ableitung 0 ist, könnte ich über Polynomdivision weitere x finden, aber ich vermute mal stark, dass ich das [mm] x_{0} [/mm] irgendwie mit dem euklidischen Algorithmus heraus bekomme, nur wie...?
Hoffe irgendjemand von euch kann mir einen Tipp geben.

Viele Grüße

        
Bezug
Extremstelle berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Mi 15.07.2009
Autor: MathePower

Hallo ms2008de,

> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] , f(x) = [mm]x^{4}[/mm] + [mm]2x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm]
> - 2x + 2 besitzt an einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] >0 ein lokales
> Minimum mit Funktionswert: [mm]f(x_{0})=1.[/mm]
> Berechnen Sie diese Stelle [mm]x_{0}.[/mm]
>  Hallo,
>  Also zunächst mal muss ja [mm]x^{4}[/mm] + [mm]2x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] -  2x +
> 2=1 sein und des weiteren muss f´(x)=0 sein, also [mm]4x^{3}[/mm] +
> [mm]6x^{2}[/mm] - 2x - 2=0. Nur wie mach ich an der Stelle weiter?
> Wenn ich ein x finden würde, bei dem die Ableitung 0 ist,
> könnte ich über Polynomdivision weitere x finden, aber
> ich vermute mal stark, dass ich das [mm]x_{0}[/mm] irgendwie mit dem
> euklidischen Algorithmus heraus bekomme, nur wie...?
>  Hoffe irgendjemand von euch kann mir einen Tipp geben.


Berechne zuerst die Nullstellen von

[mm]g\left(x\right):=f\left(x\right)-1[/mm]

Und entscheide dann, welche Lösung für das Minimum in Frage kommt.


>  
> Viele Grüße


Gruß
MathePower

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Bezug
Extremstelle berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

Danke, aber wie berechne ich denn die Nullstellen von g(x), ich komm spontan auf keine?

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Bezug
Extremstelle berechnen: probieren und Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Mi 15.07.2009
Autor: Loddar

Hallo ms2008de!


Probiere zunächst die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes.

Anschließend dann eine MBPolynomdivision durchführen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Extremstelle berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:49 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

Problem ist: Ich finde keine ganzzahlige Lösung, wenn wir haben g(x)= [mm] x^{4}+ 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] -2x +1 und das soll 0 werden,
dann komm ich bei den ganzen Zahlen von -2 bis +1 jeweils auf den Funktionswert 1, bei andern ganzen Zahlen liegt der Wert bereits wieder deutlich oberhalb von 0.


Bezug
                                        
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Extremstelle berechnen: siehe unten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 Mi 15.07.2009
Autor: Loddar

.

[guckstduhier]  .  .  .  .  andere Antwort


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Extremstelle berechnen: Anmerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mi 15.07.2009
Autor: Loddar

Hallo ms2008de!


Vielleicht ist es hier doch besser, zunächst eine Nullstelle der 1. Ableitung zu erraten und anschließend mit der Ableitung die MBPolynomdivision durchzuführen.


Gruß
Loddar


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Extremstelle berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

Sorry, aber auch hier bei der Ableitung erkenn ich keine ganzzahlige Lösung der Gleichung. Kann es nich sein, dass es irgendwie über den euklidischen Algorithmus geht? Ich dachte schon, man könnte vllt. nen ggT(g(x), f´(x)) berechnen, auch wenns ziemlich weit hergeholt klingt, und damit könnt man ja vllt. auf das x kommen?



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Extremstelle berechnen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mi 15.07.2009
Autor: Loddar

Hallo ms2008de!


Versuche es mal mit $x \ = \ -0{,}5$ .


Gruß
Loddar


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Extremstelle berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

Vielen Dank, bin somit aufs Ergebnis [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] und habs nochmal so wie ich vorgeschlagen hab, über den euklidischen Algorithmus versucht einen ggT (f´(x),g(x)) zu berechnen, der dann [mm] -\bruch{5}{4}x^{2} -\bruch{5}{4}x +\bruch{5}{4} [/mm] war. Wenn man diesen ggT hieraus dann gleich 0 setzt, kommt man aufs selbe Ergebnis ohne Nullstllen rumzuraten. Aber wieso das das selbe ist, is mir noch unklar...?

Viele Grüße

Bezug
                                        
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Extremstelle berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Mi 15.07.2009
Autor: leduart

Hallo
wenn f und g dieselbe Nst hat muss doch auch ggT von (f,g) diese Nullstele haben.
denn [mm] f(x_0)=A(x_0)*ggt(x_0)=0 [/mm] dasselbe mit g(x)
Gruss leduart

Bezug
                                                
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Extremstelle berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Mi 15.07.2009
Autor: ms2008de

dankeschön, habs verstanden

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