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Hallo zusammen
Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
Hat [mm] g|_M [/mm] ein globales Maximum? Falls ja, bestimmen Sie das Maximum.
g: [mm] \IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2}
[/mm]
M={ [mm] (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 [/mm] }
So nun zu dem was ich konnte:
Also ich habe mal [mm] h(x,y)=e^{x^2+y^2}-2 [/mm] gesetzt.
Dann gilt ja: grad f(x,y) = [mm] \lambda [/mm] * grad h(x,y) [mm] \gdw \begin{cases} 2xe^{x^2-y^2}=\lambda * 2xe^{x^2+y^2} \\ -2ye^{x^2-y^2}=\lambda * 2ye^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \\ -e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{-2y^2}= \lambda \\ -e^{-2y^2}= \lambda \end{cases}
[/mm]
Damit muss gelten: [mm] -e^{-2y^2}= e^{-2y^2} [/mm] & dies gilt nur, wenn y=0^.
Damit die Nebenbedingung h(x) erfüllt ist, muss gelten:
[mm] e^{x^2+0}=2 \gdw [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{ln(2)}
[/mm]
Stimmt das bis hier hin???? Und wie schaue ich nun ob dies ein globales Maximum ist.
Liebe Grüsse
Babybel
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Das ist doch eine normale extremwertaufgabe mit einer nebenbedingungen
Daher aus der nebenbedingungen eine Variable durch die andere ausdrücken ( in unserem Fall zB [mm] $e^{x^2}$ [/mm] ) und dann die hauptfunktion wie eine extremwertaufgabe in einer Varablen behandeln
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Hallo
Also meinst du nicht man sollte dies mit dem Lagrange Multiplikator berechnen?
Denn so mussten wir solche Aufgaben immer lösen....
Wenn ich es so machen würde, wie du gesagt hast, dann würde ich bei (x,y)=(2,0) ein Maximum erhalten.
Wo aber, war mein Fehler bei meiner Berechnung im ersten Post?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Mo 01.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich habe nichts geprüft, aber lass Dich nicht so schnell vom Lagrange Multiplikator abbringen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Di 02.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Also meinst du nicht man sollte dies mit dem Lagrange
> Multiplikator berechnen?
> Denn so mussten wir solche Aufgaben immer lösen....
von *müssen* kann doch gar keine Rede sein - solange es der Aufgabensteller
in der Aufgabe nicht explizit verlangt.
> Wenn ich es so machen würde, wie du gesagt hast, dann
> würde ich bei (x,y)=(2,0) ein Maximum erhalten.
Ich rechne mal nach: Es war
g: [mm] \IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2} [/mm]
[mm] M=\{ (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 \}
[/mm]
Nun gilt $(x,y) [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\iff$ $x^2=-y^2+\ln(2)\,.$ [/mm] Also betrachten wir
$g|M$ mit [mm] $(g|M)(\,(x,y)\,)=:(g|M)(x,y)=g(x,y)=f(y):=e^{-2y^2+\ln(2)}=2e^{-2y^2}\,.$
[/mm]
Hier ist
[mm] $f'(y)\stackrel{!}{=}0$ [/mm]
[mm] $\iff$ $2e^{-2y^2}*(-4y)\stackrel{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $-8ye^{-2y^2}\stackrel{!}{=}0.$
[/mm]
In der Tat erhalten wir schonmal [mm] $y\stackrel{!}{=}0.$
[/mm]
Dass $f''(y)=0$ für [mm] $y=0\,$ [/mm] gilt, ist leicht einzusehen. Dennoch kann man sich
relativ leicht davon überzeugen, dass an [mm] $y=0\,$ [/mm] ein lokales Maximum vorliegt.
Da $(x,y)=(x,0) [mm] \in [/mm] M$ gelten muss, folgt
[mm] $e^{x^2+0^2}=2\,.$
[/mm]
Das impliziert bzw. ist gleichwertig mit [mm] $x^2=\ln(2).$ [/mm] Wie kommst Du dann auf $(x,y)=(2,0)$?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:14 Di 02.09.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Marcel
Sorry, da habe ich mich wohl verrechnet.
Dann hast du ja dieselbe Lösung wie ich im ersten Post. Super! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 02.09.2014 | | Autor: | Nrjunkie |
> Hallo zusammen
>
> Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
> Hat [mm]g|_M[/mm] ein globales Maximum? Falls ja, bestimmen Sie das
> Maximum.
> g: [mm]\IR^2 \to \IR, g(x,y)=e^{x^2-y^2}[/mm]
> M=[mm]\{(x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2\}[/mm]
>
>
>
> So nun zu dem was ich konnte:
> Also ich habe mal [mm]h(x,y)=e^{x^2+y^2}-2[/mm] gesetzt.
>
> Dann gilt ja: grad f(x,y) = [mm]\lambda[/mm] * grad h(x,y) [mm]\gdw \begin{cases} 2xe^{x^2-y^2}=\lambda * 2xe^{x^2+y^2} \\ -2ye^{x^2-y^2}=\lambda * 2ye^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \\ -e^{x^2-y^2}=\lambda*e^{x^2+y^2} \end{cases} \gdw \begin{cases} e^{-2y^2}= \lambda \\ -e^{-2y^2}= \lambda \end{cases}[/mm]
>
> Damit muss gelten: [mm]-e^{-2y^2}= e^{-2y^2}[/mm] & dies gilt nur,
> wenn y=0^.
Bei $y=0$ wäre aber +1=-1
>
> Damit die Nebenbedingung h(x) erfüllt ist, muss gelten:
> [mm]e^{x^2+0}=2 \gdw[/mm] x= [mm]\pm \wurzel{ln(2)}[/mm]
>
>
> Stimmt das bis hier hin???? Und wie schaue ich nun ob dies
> ein globales Maximum ist.
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Di 02.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Da muss man ja auch zwei Schritte zurückgehen, weil da Umformungen gemacht wurden, die für die Fälle x = 0 oder y = 0 eine Sonderbetrachtung einfordern.
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