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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo zusammen,
Leider komme ich mit folgender Aufgabe gar nicht klar und hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt. Die Aufgabe lautet wie folgt
Bestimmen Sie alle Extremstellen der Funktion
f : [0, 2] × [0, 3] −→ R, f(x, y) = [mm] 2x^{2} [/mm] − xy + [mm] 2y^{2} [/mm] − 2x − 7y + 8.
Könnt ihr mir erklären was ich mir unter einer solchen Funktion überhaupt vorstellen kann?
Viele Grüße
sarina
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Hallo sarinaXYZ und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Hallo zusammen,
> Leider komme ich mit folgender Aufgabe gar nicht klar und
> hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt. Die Aufgabe lautet
> wie folgt
> Bestimmen Sie alle Extremstellen der Funktion
> f : [0, 2] × [0, 3] −→ R, f(x, y) = [mm]2x^{2}[/mm] − xy +
> [mm]2y^{2}[/mm] − 2x − 7y + 8.
> Könnt ihr mir erklären was ich mir unter einer solchen
> Funktion überhaupt vorstellen kann?
Nun die Funktion beschreibt dir eine Fläche im [mm] $\IR^3$, [/mm] nämlich [mm] $\{(x,y,f(x,y))\mid x\in[0,2],y\in[0,3]\}\subset\IR^3$
[/mm]
Was habt ihr denn zu Extremstellen bei mehrdim. Funktionen gemacht?
Die Aufgabe ist ja wohl kaum vom Himmel gefallen.
Los geht's damit, die sog. stationären Punkte zu bestimmen.
Das sind diejenigen [mm] $(x,y)\in[0,2]\times[0,3]$, [/mm] an denen die beiden partiellen Ableitungen nach x und y verschwinden.
Damit bestimmst du mögliche Kandidaten für die Extrema.
Ob's welche sind und wenn ja welcher Art sie sind, bestimmst du über die Jacobimatrix ...
Schlage also nach, was ihr bisher dazu gemacht habt und leg mal los ...
Viel Erfolg dabei!
Gruß
schachuzipus
>
> Viele Grüße
> sarina
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Hallo nochmal,
hier mal der Graph zu der Funktion ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für deine Antwort.
Ok also der kritische Punkt von f ist p=(1,2). Für die Hesse Matrix ergibt sich dann Hf= [mm] \pmat{ 4 & -1 \\ -1 & 4 } [/mm] somit gilt für die Hauptminoren M1 = 4 > 0 und M2= 15 > 0 woraus folgt, dass p=(1,2) ein lokales Minimum ist Gleichzeitig ist der stationäre Punkt auch globales Minimum da die Funktion konvex ist. Stimmt das so einigermaßen oder liegt ich bis jetzt total falsch?
Viele Grüße
sarina
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Ok stellt sich nur noch die Frage wie umfangreich die Begründung sein sollte.
Am sinnvollsten wird doch sein so zu argumentieren, dass die Funktion f genau dann strikt konvex ist, wenn Hf positiv definit ist, was erfüllt ist wenn für alle Hauptminoren gilt, dass sie größer als Null sind. Oder sollte man die Konvexität besser über die Krümmung und somit über die zweite Ableitung von f begründen? Was sich hier aber irgendwie schlecht anbietet oder?
Viele Grüße
sarina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 27.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Für die
