Extremstellen einer e-Funktion?? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Alice |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo liebe Matheräumler!
Ich möchte gerne die Extremstellen einer Funktion bestimmen, hier ist schon die 1. Ableitung:
[mm] \bruch{-8}{ x^{2}} [/mm] exp [2- [mm] \bruch{ x^{2}}{2}]
[/mm]
Ich tue mich sehr schwer dabei, die Ableitung gleich Null zu setzen und dann die stationären stellen zu bestimmen. Geht das überhaupt so ohne weiteres? Das ist nämlich keine gestellte Aufgabe, sondern ich hatte selber die Idee, von der Funktion die Extrema zu bestimmen.
Bei nicht-e-Funktionen macht mir die Extremwertbestimmung keine Probleme, hier habe ich aber irgedwie keinen Anhaltspunkt, wie ich vorzugehen habe und würde mich sehr über einen Hinweis etc. freuen!
Danke schonmal für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alice
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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> Hallo liebe Matheräumler!
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> Ich möchte gerne die Extremstellen einer Funktion
> bestimmen, hier ist schon die 1. Ableitung:
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> [mm]\bruch{-8}{ x^{2}}[/mm] exp [2- [mm]\bruch{ x^{2}}{2}]
[/mm]
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> Ich tue mich sehr schwer dabei, die Ableitung gleich Null
> zu setzen und dann die stationären stellen zu bestimmen.
> Geht das überhaupt so ohne weiteres? Das ist nämlich keine
> gestellte Aufgabe, sondern ich hatte selber die Idee, von
> der Funktion die Extrema zu bestimmen.
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> Bei nicht-e-Funktionen macht mir die Extremwertbestimmung
> keine Probleme, hier habe ich aber irgedwie keinen
> Anhaltspunkt, wie ich vorzugehen habe und würde mich sehr
> über einen Hinweis etc. freuen!
>
Da musst du einfach wissen, dass oft auf die Funktion der Logarithmus angewendet werden muss, um das e-hoch aufzuheben.
Als Beispiel: du kommst nach einigen Umformungen auf eine Gleichung, die etwas so aussehen möge:
[mm] $e^{4-x^{2}} [/mm] = 1$
Jetzt kannst du auf beiden Seiten den (natürlichen) Logarithmus nehmen:
[mm] $4-x^{2} [/mm] = 0$
... und das kannst du jetzt wieder ganz einfach weiterrechnen.
Nun zu deinem Beispiel von oben:
[mm] $\bruch{-8}{ x^{2}}*e^{(2- \bruch{x^{2}}{2})}=0$
[/mm]
Da sollte man zuerst überlegen, dass ein Produkt dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Ich teile also die Aufgabe auf und betrachte 2 Gleichungen, deren Lösungensmengen dann vereinigt werden müssen:
I) [mm] $\bruch{-8}{ x^{2}}=0$
[/mm]
II) [mm] $e^{(2- \bruch{x^{2}}{2})}=0$
[/mm]
Zur Gleichung I): [mm] $\bruch{-8}{ x^{2}}=0$
[/mm]
Das kann nie Null werden. Aus diesem Faktor erhältst du also keine Lösungen.
Das siehst du leicht ein, wenn du die Gleichung mit [mm] $x^{2}$ [/mm] multiplizierst. Dann bekommst du:
$-8=0$
Und bei dieser Gleichung ist die Lösungsmenge leer, sie ist nie erfüllt!
Zur Gleichung II): [mm] $e^{(2- \bruch{x^{2}}{2})}=0$
[/mm]
Auch das kann nie Null werden. [mm] $e^{x}$ [/mm] ist für alle $x$ grösser als Null. Wie sich der Exponent auch verändern mag: Null bekommst du als Funktionswert nie heraus!
Uebrigens: auch das Logarithmieren auf beiden Seiten der Gleichung würde nicht funktionieren, weil der Logarithmus innerhalb der reellen Zahlen nur für positive Argumente definiert ist. Für $0$ ist er also auch nicht definiert.
Deine Funktion nimmt also nirgends ein Extremum an. Sie ist für negative x-Werte zwar monoton steigend, für positive Werte aber monoton fallend. Trotzdem nimmt sie bei $x=0$ kein Maximum an, weil sie dort gar nicht definiert ist (Nenner = Null).
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Alice |
Lieber Paulus,
danke für Deine Antwort, das hat mir sehr weitergeholfen!
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