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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 20.04.2013 | | Autor: | sunny20 |
| Aufgabe | | Führe für die gegebene Funktion eine Funktionsuntersuchung durch: [mm] f(x)=3x^4-8x^3+6x^2 [/mm] |
Ich habe ein Problem und zwar bei der hinreichenden Bedingung für Extremstellen.
Zu erst habe ich die Ableitungen gebildet:
f'(x) = [mm] 12x^3-24x^2+12x
[/mm]
f''(x)= [mm] 36x^2-48x+12
[/mm]
Dann habe ich die Notwendige Bedingung f'(x)= 0 ausgerechnet:
hierbei kommt für [mm] x_{1}= [/mm] 0 und [mm] x_{2}= [/mm] 1
Die hinreichende Bedingung von [mm] x_{1} [/mm] ist > 0 also klar ein Minimum
bei der hinreichenden Bedingung von [mm] x_{2} [/mm] ergibt sich ein Problem hier kommt 0 raus,
ich meine ich könnte jetzt soweit weiter ableiten und einsetzen, bis sich ein [mm] \not= [/mm] 0 ergibt.
Aber ich würde es gerne über den VZW nachweisen.
Mein Problem an der Sache für [mm] x_{2} [/mm] ist aber folgendes, dass bei einem Wert kleier als Null x< [mm] x_{1} [/mm] ergibt sich bei mir
[mm] 12*(-0,001)^3-24*(-0,001)^2+6*(-0,001) [/mm] < 0
und für x> [mm] x_{1} [/mm] ergibt es
[mm] 12*(0,001)^3 -24*(0,001)^2 [/mm] +6*(0,001) < 0
somit wäre es ein weiteres Minimum, das kann nicht sein!
Was mache ich falsch?
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunny!
Du musst bei dem Nachweis des Vorzeichenwechsels aber auch schon x-Werte nahe $x \ [mm] \approx [/mm] \ +1$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 20.04.2013 | | Autor: | sunny20 |
versteh ich nicht ganz die Notwendige Bedinung für x = 1 ist doch klar erfüllt?
und was hat das mit dem VZW für x = 0 zu tuen?
LG
sunny
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Hallo,
> versteh ich nicht ganz die Notwendige Bedinung für x = 1
> ist doch klar erfüllt?
> und was hat das mit dem VZW für x = 0 zu tuen?
Du hast geschrieben: Für [mm] $x_1 [/mm] = 0$ liegt ein Minimum vor, weil da [mm] f''(x_1) [/mm] > 0 ist.
Du hast geschrieben: Für [mm] $x_2 [/mm] = 1$ möchtest du die Art der Extremstelle mit Vorzeichenwechsel untersuchen.
Dafür muss du Werte nahe [mm] $x_2 [/mm] = 1$ in die Ableitung f' einsetzen, um den Vorzeichenwechsel der Funktion in der Umgebung dieser Stelle zu ermitteln.
In deinem Ausgangspost hast du jedoch in f' Werte nahe [mm] $x_1 [/mm] = 0$ eingesetzt. Du hast also nochmals die Art des Extremums an der Stelle [mm] x_1 [/mm] untersucht. Wir erwarten ein Minimum.
Du hast die da verrechnet und es müsste eigtl. lauten:
f'(-0.001) < 0
f'(0.001) > 0
Damit ist nach dem VZW klar, dass f' monoton wächst und somit bei [mm] x_1 [/mm] = 0 ein Minimum vorliegt.
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Du hast also jetzt noch nicht das Verhalten bei [mm] x_2 [/mm] = 1 untersucht!!
Viele Grüße,
Stefan
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