Extremstellenaufgabe < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Marykris |
| Aufgabe | Zu Beginn des Monats März 2006 prognostizierten zwei Wirtschaftsforschungsinstitute den Absatz eines Produkts in Laufe der nächsten 12 Monate. Das erste Institut geht von einem saisonabhängigenAbsatz aus und legt folgende Funktion f zugrunde:
f(x)=x³-18x²+81x+300 mit 0<12<300
Hierbei steht x für die zeit in Monaten nach Beobachtungsbeginn und f(x) für den Absatz in einer bestimmmten Zeiteinheit.
Das zweite Institut geht von einer gleichmäßigen Steigung des Absatzes aus. Die Prognosen beider Institute stimmen zu Beginn und Ende des Prognosezeitraums überein.
d) Untersuchen Sie, an welchem Zeitpunkt der Unterschied zwischen den von den beiden Instituten prognostizierten Absatzwerten am größten ist. Begründen sie, dass genau dann die Absatzprognosen beider Institute gleiche Zuwachsraten aufweisen.
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Ok, die Funktion des zweiten Institutes hab ich aus a). Sie lautet g(x)=9x+300.
Ich weiß, dass ich für den ersten Teil der Aufgabe die Differenz der beiden Funktionen ausrechnen muss (f(x)-g(x)) und dass ich dann von dieser Funktion die Extremstellen ermitteln muss. Wo bei ich eher Probleme habe, ist genau zu erklären wieso. Unser Lehrer erwartet immer nicht nur eine Lösung, sondern auch eine genaue Erklärung, und ich fände es toll das einfach mal machen zu können. Außerdem weiß ich nicht so ganz, wie ich den zweiten Teil angehen soll. Deshalb würde ich mich über ein wenig Hilfe sehr freuen.
(Über einen Lösungsweg zu dem Extremstellen würde ich mich auch nicht beschweren, ich bleib die ganze zeit in meiner Rechnung hängen und weiß nicht wieso, wenn ich die Lösung meiner pq-Formel (-6 [mm] \pm \wurzel{12}) [/mm] in die zweite Ableitung einsetze kommen jedes Mal zwei negative Zahlen raus. Hab ich mich da irgendwo verrechnet? Ich bin kurz vorm verzweifeln!)
Danke im Vorraus!!
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Hallo Marykris,
> Zu Beginn des Monats März 2006 prognostizierten zwei
> Wirtschaftsforschungsinstitute den Absatz eines Produkts in
> Laufe der nächsten 12 Monate. Das erste Institut geht von
> einem saisonabhängigenAbsatz aus und legt folgende Funktion
> f zugrunde:
>
> f(x)=x³-18x²+81x+300 mit 0<12<300
>
> Hierbei steht x für die zeit in Monaten nach
> Beobachtungsbeginn und f(x) für den Absatz in einer
> bestimmmten Zeiteinheit.
Mh ... 0<12<300 ??? ... müßte es nicht eher lauten 0<x<12?
> Das zweite Institut geht von einer gleichmäßigen Steigung
> des Absatzes aus. Die Prognosen beider Institute stimmen zu
> Beginn und Ende des Prognosezeitraums überein.
>
> d) Untersuchen Sie, an welchem Zeitpunkt der Unterschied
> zwischen den von den beiden Instituten prognostizierten
> Absatzwerten am größten ist. Begründen sie, dass genau dann
> die Absatzprognosen beider Institute gleiche Zuwachsraten
> aufweisen.
>
>
> Ok, die Funktion des zweiten Institutes hab ich aus a). Sie
> lautet g(x)=9x+300.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt.
> Ich weiß, dass ich für den ersten Teil der Aufgabe die
> Differenz der beiden Funktionen ausrechnen muss (f(x)-g(x))
> und dass ich dann von dieser Funktion die Extremstellen
> ermitteln muss. Wo bei ich eher Probleme habe, ist genau zu
> erklären wieso. Unser Lehrer erwartet immer nicht nur eine
> Lösung, sondern auch eine genaue Erklärung, und ich fände
> es toll das einfach mal machen zu können.
f(x) und g(x) sind ja nix anderes als die Bildungsvorschrift für die y-Werte eines jeden Punktes der jeweiligen Funktion. Wenn du nun f(x)-g(x) bestimmst du nichts anderes als den Abstand der beiden Funktionen voneinander in Abhängigkeit von x. Bei x=0 sollte das ein Abstand von 0 Längeneinheiten sein, da ja beide Funktionen durch den Punkt (0, 300) verlaufen (Schnittpunkt). Da du nun den funktionalen Zusammenhang zwischen x-Wert und Abstand kennst, kannst du mit Hilfe einer einfachen Extremwertbetrachtung den maximalen Abstand beider Funktionen berechnen. (erste Ableitung der differen von f(x) und g(x) null setzen und x ausrechnen)
> Außerdem weiß ich
> nicht so ganz, wie ich den zweiten Teil angehen soll.
> Deshalb würde ich mich über ein wenig Hilfe sehr freuen.
Im Grunde garnicht so schwer. Die Zuwachsraten sind nichts anderes als der Anstieg an dem jeweiligen betrachteten Punkt einer jeden Funktion. Am einfachsten kann man das an g(x) erklären, da diese Funktion linear ist. Mit jedem weiteren x steigt die Funktion um 9x an ... die Zuwachsrate ist demnach 9. Die 9 ist nichts anderes als der anstieg der linearen Funktion (1. Ableitung der Funktion).
Du solltest vorher das x ermitteln, an dem der Abstand maximal ist. Dazu hast du (hoffentlich) f(x)-g(x) bestimmt. Diese Differenz soltest du nun abgeleitet haben, um auf das x mit dem maximalen Abstand zwischen den Funktionen zu kommen: du hast also f'(x)-g'(x)=0 gesetzt (1. Ableitung der Differenzfunktion). Wenn du nun kurz mal das g'(x) auf die rechte Seite ziehst steht da: f'(x)=g'(x). Da die ersten ableitungen von Funktionen bekanntlich den Anstieg der jeweiligen Funktion an einer Stelle x angeben (siehe oben) steht hier nichts anderes als: Anstieg von f(x) ist gleich Anstige von g(x).
Wenn du es nicht glaubst, dann verschieb g(x) doch mal parallel in Richtung f(x) und schau, wo der Schnittpunkt entsteht. An dieser Stelle findest du das x, bei dem der Abstand maximal ist. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß,
Tommy
> (Über einen Lösungsweg zu dem Extremstellen würde ich mich
> auch nicht beschweren, ich bleib die ganze zeit in meiner
> Rechnung hängen und weiß nicht wieso, wenn ich die Lösung
> meiner pq-Formel (-6 [mm]\pm \wurzel{12})[/mm] in die zweite
> Ableitung einsetze kommen jedes Mal zwei negative Zahlen
> raus. Hab ich mich da irgendwo verrechnet? Ich bin kurz
> vorm verzweifeln!)
>
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> Danke im Vorraus!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marykris |
>Mh ... 0<12<300 ??? ... müßte es nicht eher lauten 0<x<12?
Oh, stimmt, sorry, vertippt..
Ich danke dir schonmal sehr für diese Erklärung!! Damit verstehe ich das auch alles!
Fände es echt toll, wenn du mir bei dem letzten Teil (mit dem Berechnen der Extremstellen) auch noch helfen könntest.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Di 29.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zur Begründung: Alltagswort Unterschied meint immer die Differenz.
Die Differenz der Funktionen. ist also die Unterschiedsfunktion, nenn sie deshalb U(x) davon muss ich das Minimum und Max. finden, weil es ja eigentlich nur auf den Betrag des Unterschieds ankommt.
Das x mit dem Betrag nach größte ist dann die gesuchte Zeit. deshalb muss ich die zweite Ableitung gar nicht bilden, sondern nur die Werte von U(x) an den 2 Stellen.
[mm] U'=3x^2-36x+72 [/mm] U'=0 bei x=+6 [mm] \pm\wurzel{12} [/mm] da hast du ne falsche -6.
Gruss leduart
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