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Hallo.
Ich bin grad dabei ein paar Aufgaben zu machen, um für meine Vorabiklausur zu lernen.
Aber es gibt so n paar Aufgaben wo ich es einfach net verstehe.
z.b: Haben wir die Funktion [mm] f_{a}(x)= \bruch{4x}{x²+a} [/mm] gegeben...
Und auch [mm] f_{a}''(x) [/mm] = [mm] \bruch{8x^3 - 24ax}{(x²+a)^3}
[/mm]
Und nun bin ich dabei die Extremstellen auszurechnen.
Dazu hab ich [mm] f_{a}(x) [/mm] gebildet und gleich Null gesetzt und habe raus: [mm] x_{e1}= \wurzel{a} [/mm] und [mm] x_{e2}= [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] ...
und wenn ich [mm] x_{e1}= \wurzel{a} [/mm] und [mm] x_{e2}= [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] nun in [mm] f_{a}''(x) [/mm] einsetze komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich das auflösen soll.
[mm] f_{a}''(x) [/mm] = [mm] \bruch{8*( \wurzel{a} )³- 24a* \wurzel{a} }{ ( (\wurzel{a} )² +a)³ }
[/mm]
Und dasselbe dann für [mm] -\wurzel{a} [/mm] ....
Kann mir da jemand BITTE helfen...
Lg, albadeluxe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo albafreak,
die Extremstellen (also Minima und Maxima) bekommst Du, indem Du die erste Ableitung der vorgegebenen Funktion bildest. Wie sieht die denn bei Dir aus?
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit.
Ich habe für die erste Ableitung :
[mm] f_{a}(x)= \bruch{4x² + 4a - 8x²}{(x²+a)²} [/mm] raus...
und die gleich Null gesetzt und hatte, wie gesagt, [mm] x_{e1/2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{a}...
[/mm]
Lg, albadeluxe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Infinit.
>
> Ich habe für die erste Ableitung :
>
> [mm]\red{f_{a}(x)}[/mm]
[mm] $$\blue{f_a\!\,'(x)}= \bruch{4x² + 4a - 8x²}{(x²+a)²}$$ [/mm]
raus...
> und die gleich Null gesetzt und hatte, wie gesagt, [mm]x_{e1/2}[/mm]
> = [mm]\pm \wurzel{a}...[/mm]
das sieht okay aus (bis darauf, dass die Ableitung [mm] $f_a\!\,'$ [/mm] heißen sollte, s.o.). Erkennst Du kein Problem im Fall $a [mm] <\,0$?
[/mm]
Rest: siehe meine andere Antwort.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bin grad dabei ein paar Aufgaben zu machen, um für
> meine Vorabiklausur zu lernen.
> Aber es gibt so n paar Aufgaben wo ich es einfach net
> verstehe.
>
> z.b: Haben wir die Funktion [mm]f_{a}(x)= \bruch{4x}{x²+a}[/mm]
> gegeben...
> Und auch [mm]f_{a}''(x)[/mm] = [mm]\bruch{8x^3 - 24ax}{(x²+a)^3}[/mm]
>
> Und nun bin ich dabei die Extremstellen auszurechnen.
> Dazu hab ich [mm]f_{a}(x)[/mm] gebildet und gleich Null gesetzt und
> habe raus: [mm]x_{e1}= \wurzel{a}[/mm] und [mm]x_{e2}=[/mm] - [mm]\wurzel{a}[/mm] ...
>
> und wenn ich [mm]x_{e1}= \wurzel{a}[/mm] und [mm]x_{e2}=[/mm] - [mm]\wurzel{a}[/mm]
> nun in [mm]f_{a}''(x)[/mm] einsetze komme ich nicht weiter, da ich
> nicht weiß wie ich das auflösen soll.
>
> [mm]f_{a}''(x)[/mm] = [mm]\bruch{8*( \wurzel{a} )³- 24a* \wurzel{a} }{ ( (\wurzel{a} )² +a)³ }[/mm]
>
> Und dasselbe dann für [mm]-\wurzel{a}[/mm] ....
abgesehen zu der ersten Antwort, dass man hier [mm] $f_a$ [/mm] und [mm] $f_a\!\,'$ [/mm] auch hinschreiben sollte:
Wenn [mm] $f_a\!\,'(x_e)=0$ [/mm] und [mm] $f_a\!\,''(x_e) [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dann liegt an [mm] $x_e$ [/mm] ein lokales Minimum vor; wenn [mm] $f_a\!\,'(x_e)=0$ [/mm] und [mm] $f_a\!\,''(x_e) [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] dann liegt an [mm] $x_e$ [/mm] ein lokales Maximum vor.
Bei [mm] $f_a\!\,''(x_e)=\bruch{8*( \wurzel{a} )³- 24a* \wurzel{a} }{ ( (\wurzel{a} )² +a)³ }$ [/mm] (wobei man sicher vorher schonmal die Fälle $a [mm] \,> [/mm] 0$, $a=0$ und $a [mm] \,< [/mm] 0$ unterscheiden sollte) würde man schon sehen, dass der Nenner (für $a [mm] \,> [/mm] 0$) stets [mm] $\,> [/mm] 0$ ist. Es wäre also quasi nur noch zu prüfen, wie es mit dem Vorzeichen des Zählers aussieht.
Aber folgende Angaben nochmal bitte, damit Deine Aufgabe vernünftig kontrolliert werden kann:
[mm] $\bullet$ [/mm] was ist [mm] $f_a$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] wie sieht bei Dir [mm] $f_a\!'$ [/mm] aus (Deine Rechnung zur Kontrolle)
[mm] $\bullet$ [/mm] wie sieht bei Dir [mm] $f_a\!''$ [/mm] aus (Deine Rechnung zur Kontrolle)
[mm] $\bullet$ [/mm] Rechnung für die Kandidaten für Extremstellen (also [mm] $x_e$ [/mm] mit [mm] $f_a\,\!'(x_e)=0$)
[/mm]
(Es scheint mir so, als wären dabei die Fälle [mm] $a\,< [/mm] 0$, $a=0$ und [mm] $a\,>0$ [/mm] zu unterscheiden!)
[mm] $\bullet$ [/mm] Kontrolle, ob die [mm] $x_e$ [/mm] wirklich Extremstellen für [mm] $f_a$ [/mm] sind (falls möglich mit Hilfe der zweiten Ableitung)
Warnung: Wenn neben [mm] $f_a\!\,'(x_e)=0$ [/mm] auch [mm] $f_a\!\,''(x_e)=0\,$ [/mm] gilt, dann musst Du Dir nochmal Gedanken dazu machen, ob [mm] $x_e$ [/mm] tatsächlich Extremstelle, und falls ja, welcher Art, ist
Gruß,
Marcel
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Hallo.
Nun gut... Also:
[mm] f_{a} [/mm] hab ich eigentlich schon hingeschrieben.
[mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{4x}{x²+a}, [/mm] außderm gilt a>0.
[mm] f_{a}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{u'v -uv'}{v²} [/mm] - hab ich also mittels der Quotientenregel gemacht.
dabei hab ich u(x) =4x ; u'(x)=4 ; v(x)=x²+a ; v'(x)=2x
und somit [mm] f_{a}'(x)= \bruch{4* (x²+a) - 4x*2x}{(x²+a)²}
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)= \bruch{4x²+4a) - 8x²}{(x²+a)²}
[/mm]
und [mm] f_{a}''(x) [/mm] war gegeben (kein Nachweis erforderlich) mit [mm] f_{a}(x) =\bruch{8x³-24ax}{(x²+a)³}.
[/mm]
Und da ich nun als extremstellen : [mm] x_{e1/2}= [/mm] /pm [mm] \wurzel{a} [/mm] raus habe, nachdem ich [mm] f_{a}'(x) [/mm] =0 gesetzt habe, frage ich mich, wie ich, wenn ich [mm] x_{e1/2} [/mm] in [mm] f_{a}''(x) [/mm] einsetzte.. Was da rauskommt, weil ich bei der Rechnung nicht weiterkomme.
Lg, albadeluxe =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo albafreak!
Zum eine wäre es schön geweisen, wenn du uns deine Rechnungen mitgepostet hättest, um Deinen evtl. Fehler zu finden.
Zum anderen erhalte ich eine andere 2. Ableitung mit:
[mm] $$f_a''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8x^3-24a*x}{\left(x^2+a\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] 8x*\bruch{x^2-3a}{\left(x^2+a\right)^3}$$
[/mm]
In der zweiten Darstellungsform erhalte ich dann für [mm] $\red{x_{1/2} \ = \ \pm\wurzel{a}}$ [/mm] bzw. [mm] $\blue{x^2 \ = \ a}$ [/mm] :
[mm] $$f_a''\left(\pm\wurzel{a} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] 8*\left(\red{\pm\wurzel{a}} \ \right)*\bruch{\blue{a}-3a}{(\blue{a}+a)^3} [/mm] \ = \ [mm] \pm 8*\wurzel{a}*\bruch{-2a}{8a^3} [/mm] \ = \ [mm] \mp\bruch{2}{\wurzel{a^3}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:35 Sa 21.02.2009 | | Autor: | albafreak |
Hallo Loddar.
Tut mir leid, ich hab grad gesehe, dass ich mich vertippt habe.
Denn für die 2. Ableitung hab ich das gleiche gegeben.
Da hab ich keine Rechnung zu, da die 2. Ableitung ja schon vorgegeben war.
mit [mm] f_{a}''(x)= \bruch{8x³-24ax}{(x²+a)³}, [/mm] also das, was du auch raus hast.
nur was meine eigentlich Frage doch war, ist, dass ich nicht verstehe, wie ich auf ein Ergebnis komme, wenn ich da nun [mm] x_{e1/2}= [/mm] /pm [mm] \wurzel{a} [/mm] einsetze...
Lg, und danke für die Hilfe =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo albafreak!
Das habe ich doch oben ausführlich vorgerechnet!
Gruß
Loddar
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Ok.
Nur verstehe ich leider nicht wie du von
[mm] \pm 8\cdot{}\wurzel{a}\cdot{}\bruch{-2a}{8a^3} [/mm] auf [mm] \pm\bruch{2}{\wurzel{a^3}} [/mm] kommst...
=(
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo albafreak!
Zum einen steht links [mm] $\red{\mp}$ [/mm] . Und die einzelnen Terme mit $a_$ habe ich gemäß den  Potenzgesetzen zusammengefasst:
[mm] $$\wurzel{a}*\bruch{a}{a^3} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{a^2} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}}*a^{-2} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}-2} [/mm] \ = \ [mm] a^{-\bruch{3}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^{\bruch{3}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^3}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Sa 21.02.2009 | | Autor: | albafreak |
Okay. Jetzt hab ichs verstanden. :)
Vielen Dank.
Lieben Gruß, albadeluxe
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