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| Aufgabe | Sei [mm] A={(x,y);x^2+2y^2+xy+e^{2-xy}=9}, [/mm] und sei [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=x^2+2y^2.
[/mm]
Wir behaupten, dass die Funktion [mm] f:A->\IR [/mm] ihr Maximum annimmt in (2,1). Was sagt der Multiplikatorsatz vpn Lagrange zu dieser Aussage? |
Hallo erstmal!
Versuche, diese Aufgabe zu bewältigen, doch weiß nicht so recht, wie ich verfahren soll.
ALso der Satz sagt ja, dass man Extremkandidaten findet bei Napla(also erste partiell ABleitung nach x und [mm] y)f(x,y)=\lambda [/mm] nabla a(x,y)
a(x,y) ist die Menge A als Funktion umgestellt
Wenn ich die Ableitungen berechne und den Punkt (2,1) einsetze, dann kommt da [mm] \vektor{4 \\ 4}=\lambda\vektor{4 \\ 4}, [/mm] also ist dieser Punkt nach Lagrange ein Extremkandidat. Jetzt muss man noch zeigen, dass es ein Maximum ist mit der Hessematrix.
Ich frage euch: Würde das reichen? Ich finde, die Aufgabe ist unpräzise gestellt. Reicht das oder muss man erst die Lagrange-Funktion allgemein ableiten und dann rechnen, ob dieser Punkt herauskommt oder reicht einfach einsetzen?
Ganz egal, ob ich es zeigen muss oder nicht, möchte ich gerne das Maximum berechnen(also ich tue so, als wüsste ich nicht, wo das Maximum liegt)
Also ich bilde zuerst die Ableitungen
[mm] \partial_{x} =2x+2x\lambda [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y [mm] -ye^{2-xy}\lambda [/mm] =0
[mm] \partial_{y} =4y+4y\lambda [/mm] + [mm] x\lambda -xe^{2-xy}\lambda [/mm] = 0
[mm] \partial_{\lambda} =x^2+2y^2+xy+e^{2-xy}-9 [/mm] =0
Jetzt weiß ich absolut nicht, wie ich weiter vorgehe. Klar, es sind 3 Gleichungen und 2 Variablen(Lambda muss ich ja nicht berechnen, oder?), aber mich stört die e-Funktion.
Ich hab mal was versucht:
[mm] x\partial_{x} -y\partial_{y} [/mm] . Dann habe ich folgendes raus:
[mm] 2x^2-4y^2+\lambda(2x^2-4y^2) [/mm] und dann stelle ich nach x um und erhalte [mm] x=+\- \wurzel{2}y [/mm] und wie jetzt weiter verfahren?
Ich hab echt Probleme, die Gleichungssysteme zu lösen. Kann mir wer helfen und meine Fragen beantworten?
Ich bedanke mich schonmal für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau, weil das GS nicht so elementar zu lösen geht, ist heir ein ergebnis vorgegebn, und du sollst nur zeigen, dass die (2,1) es lösen. Wenn du das GS lösen könntest, hätten die Aufgabensteller das auch verlangt.
Gruss leduart
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Ok, vielen Dank für deine Hilfe
TheBozz-mismo
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Entschuldigung. Sollte keine Frage sein, sondern eine Mitteilung!
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