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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:39 Di 19.04.2005 | | Autor: | mucc |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo ich habe eine Lösung zu folgender Aufgabe und weiß nicht ob sie korrekt ist:
Aufgabe:
Sei M eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n, [/mm] p [mm] \in \IR^n, [/mm] p [mm] \not\in [/mm] M und sei q [mm] \in [/mm] M so, daß der Abstand von p und q minimal ist. Zeige: p-q steht senkrecht auf [mm] T_{q}M.
[/mm]
Lösung
M ist eine n-k dimensionale Untermannigfaltigkeit, also gibt es
[mm] F_1,...., F_k [/mm] mit M [mm] \cap [/mm] U(q) = [mm] \{x \in U(p) : F_i =0\}
[/mm]
Für einen Tangentenvektor [mm] q_0 [/mm] an q gibt es eine eine Kurve t [mm] \to [/mm] c(t), so daß c(0)=q und [mm] c(0)'=q_0. [/mm] (Weil [mm] q_{0} [/mm] ein Tangentevektor ist)
Der Abstand p und q soll minimal sein. Die Abstandsfunktion
h(q) [mm] :=\summe_{i=1}^{k}(q_{i} [/mm] - [mm] p{_i})^2 [/mm] soll also ein Min in q unter der Nebenbedingung [mm] F_{i}=0 [/mm] annehmen.
dh. h(c(t)) nimmt in 0 ein Minimum an. Also [mm] h(c(0))'= [/mm] =0
Da dies für alle [mm] q_0 \in T_{q}M [/mm] gilt, liegt der gradient von h senkrecht zu [mm] T_{q}M. [/mm] Der Gradient von h(q) ist aber 2(q-p). Also liegt q-p senkrecht zu allen [mm] q_{0} \in T_{q}M
[/mm]
Ist dies korrekt?
vielen dank schon mal
mucc
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Hallo mucc,
Leider hat sich in der von Dir vorgegebenen Zeit keiner gefunden der Deine Frage beantworten konnte. Falls Du noch an einer Antwort interessiert bist meld Dich nochmal.
viele Grüße
mathemaduenn
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