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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
mein ansatz:
[mm] \overline{EF} [/mm] = [mm] \wurzel{r^{2} - x^{2}}
[/mm]
[mm] \overline{BF} [/mm] = [mm] \wurzel{(d-x)^{2} + (\overline{EF})^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{(d-x)^{2} + (\wurzel{r^{2} - x^{2}})^{2}}
[/mm]
L = [mm] \overline{BF} [/mm] + [mm] \overline{FD}
[/mm]
[mm] \overline{FD} [/mm] = L - [mm] \overline{BF} [/mm]
[mm] \overline{ED} [/mm] = [mm] \overline{EF} [/mm] + [mm] \overline{FD} [/mm] = [mm] \wurzel{r^{2} - x^{2}} [/mm] + L - [mm] \wurzel{(d-x)^{2} + (\wurzel{r^{2} - x^{2}})^{2}}
[/mm]
[mm] \overline{ED}' [/mm] = [mm] \bruch{-x}{\wurzel{r^{2}
-x^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{d}{\wurzel{d^{2}-2dx+r^{2}}}
[/mm]
Jetzt finde ich die Nullstellen (ohne ein CAS) nicht.
Wie kann ich zeigen, dass der angegebenen Term (für x), zu dem Extremwert von ED gehört?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht mir alles richtig aus bis dahin. Für die Nullstelle kannst du erstmal den einen Hauptnenner bilden und einen großen Bruch aus den 2 kleinen machen.
Dann kannst du den Zähler 0 setzen, was eigentlich dann nicht so schwer sein sollte!
Dann bekommst du das richtige raus.
Ansonsten kannst du für x auch die gegebene Extremwertstelle einsetzen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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den zähler null zu setzten ist eben das, was ich ohne cas nicht schaffe.
ich wollte dann auch einfach einsetzten und zeigen, dass es mit diesem term gleich null wird, aber wie kann ich dann zeigen, dass das der absolute maximum ist. (es könnte noch andere extremstellen geben)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, wie ich sehe, kommt da ein Polynom 3. Grades raus. Dafür gibt es ja auch eine (unschöne) Formel. Allerdings kannst du eine Nullstelle raten! Zufällig ist d eine. Dann würde einer Polynomdivision nichts mehr im Wege stehen.
Teufel
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm]\overline{ED}'[/mm] = [mm]\bruch{-x}{\wurzel{r^{2}
-x^{2}}}[/mm] + [mm]\bruch{d}{\wurzel{d^{2}-2dx+r^{2}}}[/mm]
>
> Jetzt finde ich die Nullstellen (ohne ein CAS) nicht.
Schreibe die Gleichung [mm]\overline{ED}'=0[/mm] in der Form
[mm]\bruch{x}{\wurzel{r^{2} -x^{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{d}{\wurzel{d^{2}-2dx+r^{2}}}[/mm]
multipliziere mit beiden Nennern, quadriere beidseitig und
fasse zusammen. Es entsteht eine kubische Gleichung
für x . Glücklicherweise hat sie eine einfache Lösung,
nämlich [mm] x_1=d. [/mm] Die entspricht zwar nicht der gesuchten
Extremalstelle, erlaubt aber, den kubischen Term in einen
linearen und einen quadratischen Term zu zerlegen.
Die Nullstellen [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] des quadratischen Terms
können dann leicht berechnet werden.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Super, selbe Idee ;) Na dann wird es ja stimmen.
Teufel
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Ich finde es immer wieder überraschend, wie interessante,
schöne und lehrreiche Aufgaben aus recht einfachen
praktischen Fragestellungen z.B. der Mechanik oder aus
anderen technischen oder naturwissenschaftlichen
Bereichen entstehen.
Und diese Kerle vor über 300 Jahren, die noch alles recht
mühsam von Hand rechneten und von Rechnern, CAS etc.
noch nicht einmal zu träumen wagten, haben uns so
vielfältiges Material hinterlassen, das immer noch besser
ist als manches, was heute so als Massenware in
Schulbüchern vorkommt.
LG
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