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| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR, f(x,y)=y(1-x^{2}-y^{2})
[/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte, der Hesse Matrix von f in den kritischen Punkten. |
Hallo.
Obige Aufgabe soll ich lösen.
Mein Ansatz:
[mm] \nabla [/mm] f(x,y) soll sein [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{-2xy\\1-x^{2}-3y^{2}}
[/mm]
Damit sind die Extrema bei:
[mm] \vektor{0\\ \wurzel{\frac{1}{3}}}, \vektor{0\\ \wurzel{-\frac{1}{3}}}, \vektor{-1\\0}, \vektor{1\\0}
[/mm]
Für die Hesse-Matrix Form benötige ich die zweite partielle Ableitung von f:
[mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta x }=-2y
[/mm]
[mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta y }=-6y
[/mm]
Für [mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y }=-2x =\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta x }
[/mm]
Für die Hesse-Matrix Eigenwerte setze ich dann doch einfach die "Nullstellen" von [mm] \nabla [/mm] f(x,y) in die partiellen Gleichungen, die ich erhalten habe?
Über eine Korrektur würde ich mich freuen.
Grüße
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Hallo
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=y(1-x^{2}-y^{2})[/mm]
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte, der Hesse Matrix von f in den
> kritischen Punkten.
> Hallo.
>
> Obige Aufgabe soll ich lösen.
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) soll sein [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>
> [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{-2xy\\1-x^{2}-3y^{2}}[/mm]
> Damit sind die
> Extrema bei:
> [mm]\vektor{0\\ \wurzel{\frac{1}{3}}}, \vektor{0\\ \wurzel{-\frac{1}{3}}}, \vektor{-1\\0}, \vektor{1\\0}[/mm]
>
> Für die Hesse-Matrix Form benötige ich die zweite
> partielle Ableitung von f:
> [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta x }=-2y[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta y }=-6y[/mm]
> Für
> [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y }=-2x =\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta x }[/mm]
Soweit richtig, wobei dein [mm] \delta [/mm] eher ein [mm] \partial [/mm] sein sollte.
>
> Für die Hesse-Matrix Eigenwerte setze ich dann doch
> einfach die "Nullstellen" von [mm]\nabla[/mm] f(x,y) in die
> partiellen Gleichungen, die ich erhalten habe?
Die Eigenwerte erhält man dann über das charakteristischer Polynom [mm] det(A-\lambda E_n)=0
[/mm]
Es sei denn, es ist eine Diagonalmatrix entstanden, dann ist es ja klar.
Danach ist nur noch zu üperprüfen, ob die kritischen Punkte auch tatsächlich lokale Extremstellen sind - geschieht dann einfach durch Draufglotzen auf die Eigenwerte.
Schönen Tag!
>
> Über eine Korrektur würde ich mich freuen.
>
> Grüße
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Hallo.
Ich habe die Eigewertberechnung durchgeführt und habe folgendes Ergebnisse:
[mm] a)\vektor{0\\-\wurzel{\frac{1}{3}}} [/mm] -> pos. definit -> lok Min
[mm] b)\vektor{0\\\wurzel{\frac{1}{3}}}-> [/mm] neg. definit -> lok. Max
[mm] c)\vektor{0\\-1} [/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle
[mm] d)\vektor{0\\1} [/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle
So i. O?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 05.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Das ganze geht auch ohne Eigenwerte über die Hauptminoren
> [mm]H_i(x_0,y_0[/mm], erfordert aber etwas mehr denken, EW sind da
> immer etwas sicherer, aber auch umständlicher. Aber da
> sich fast immer Diagonalmatrizen ergeben, sind da die
> beiden Kriterien gleich.
>
Richtig, aber es ist ja nach den Eigenwerten der Hessematrix gefragt ;)
Also muss man die wohl bestimmen.
Als Eigenwerte sollten aber auch keine Vektoren rauskommen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Do 05.07.2012 | | Autor: | Adamantin |
> > Das ganze geht auch ohne Eigenwerte über die Hauptminoren
> > [mm]H_i(x_0,y_0[/mm], erfordert aber etwas mehr denken, EW sind da
> > immer etwas sicherer, aber auch umständlicher. Aber da
> > sich fast immer Diagonalmatrizen ergeben, sind da die
> > beiden Kriterien gleich.
> >
> Richtig, aber es ist ja nach den Eigenwerten der
> Hessematrix gefragt ;)
> Also muss man die wohl bestimmen.
>
Ha...dumm gelaufen ;) Natürlich sollte man der Aufgabenstellung nachkommen *schäm* ;)
> Als Eigenwerte sollten aber auch keine Vektoren
> rauskommen...
hat mich auch irritiert, er meinte aber nicht die EV oder EW, sondern hat nochmal die stationären Punkte aufgelistet und dann direkt das Ergebnis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Do 05.07.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Adamantin.
Danke für die Kontrolle und sorry für die Mühe, die du dir machen musstest.
Da benutzt man die Vorschau Funktion und dann übersieht man das wesentliche ....
Grüße :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
die habe ich auch so
