Extremwert + Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Firma werden die drei chemischen Produkte , A B und C in den Produktionsmengen x,y,z > 0 hergestellt. Die Kostenfunktion sei
K(x,y,z) = x*y*z
Bestimmen Sie (x,y,z) so, dass K(x,y,z) minimal wird unter den Bedingungen, dass
x+y+z = 5
und x*y + y*z + z*x = 8 |
Bei Versuch, die Aufgabe mithilfe von Lagrange zu lösen kam ich darauf die beiden Nebenbedingungen zusammenfassen:
x + y + z - xy - yz - zx + 3 = 0
Leider komm ich dann beim Ermitteln der Nullstellen für die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nicht mehr weiter:
[mm] L_{x} [/mm] = yz + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] y - [mm] \lambda [/mm] z = 0
[mm] L_{y} [/mm] = xz + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] x - [mm] \lambda [/mm] z = 0
[mm] L_{z} [/mm] = xy + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] y - [mm] \lambda [/mm] x = 0
[mm] L_{\lambda} [/mm] = x + y + z - xy - yz - zx + 3 = 0
Kein Plan, ob das richtig ist und wie es dann weitergehen würde, weil ich das Gleichungssystem nicht lösen kann :/
Hab ich auch nicht noch in nem anderen Forum gepostet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mo 26.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> In einer Firma werden die drei chemischen Produkte , A B
> und C in den Produktionsmengen x,y,z > 0 hergestellt. Die
> Kostenfunktion sei
>
> K(x,y,z) = x*y*z
>
> Bestimmen Sie (x,y,z) so, dass K(x,y,z) minimal wird unter
> den Bedingungen, dass
>
> x+y+z = 5
> und x*y + y*z + z*x = 8
> Bei Versuch, die Aufgabe mithilfe von Lagrange zu lösen
> kam ich darauf die beiden Nebenbedingungen zusammenfassen:
>
> x + y + z - xy - yz - zx + 3 = 0
>
> Leider komm ich dann beim Ermitteln der Nullstellen für die
> partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nicht mehr
> weiter:
>
> [mm]L_{x}[/mm] = yz + [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] y - [mm]\lambda[/mm] z = 0
> [mm]L_{y}[/mm] = xz + [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] x - [mm]\lambda[/mm] z = 0
> [mm]L_{z}[/mm] = xy + [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] y - [mm]\lambda[/mm] x = 0
> [mm]L_{\lambda}[/mm] = x + y + z - xy - yz - zx + 3 = 0
>
> Kein Plan, ob das richtig ist und wie es dann weitergehen
> würde, weil ich das Gleichungssystem nicht lösen kann :/
>
> Hab ich auch nicht noch in nem anderen Forum gepostet.
zähl einfach alle drei ersten Gleichungen zusammen und du erhältst
xy + xz + yz [mm] +3\lambda [/mm] - [mm] \lambda(2x+2y+2z) [/mm] = 0 und mit den Nebenbedingungen
[mm] 8+3\lambda -10\lambda= [/mm] 0
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{8}{7}
[/mm]
Aber dein Ansatz mit der Zusammenfassung der Nebenbedingungen ist schlicht nicht korrekt:
Denn wenn du aus deiner 1. Gleichung y rausrechnest, aus deiner 2. x dann siehst du x=y und analog
x=y=z was aber mit den Nebenbedingungen nicht stimmen kann.
Auch wenn du den allgemeinen Ansatz mit zwei Lagrange Multiplikatoren nimmst, siehst du, dass x=y=z sein muss (zyklische Symmetrie aller beteiligten Funktionen in den Variablen)
und diese können nie die Nebenbedingungen erfüllen, also müsste es ein Randextremum sein.
Wenn man sich die Nebenbedingungen genauer anschaut
x + y + z = 5
folgt
(x + y + [mm] z)^{2} [/mm] = 25
oder
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] + 2(xy + xz + yz) = 25
mit der 2. Nebenbedinung
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] + 2*8 = 25
oder
(*) [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 9
aus der 1. Nebenbedingung z = 5 - x - y
in (*) eingesetzt, nach x aufgelöst, Diskriminante größer Null setzen erhältst du einen Widerspruch für y
Daher sind die Nebenbedingungen nicht zu erfüllen und die Angabe einfach falsch....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 27.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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