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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Wie müssen wir Quadratseite und Höhe einer geraden quadratischen Pyramide wählen, wenn die Oberfläche 200 beträgt und das Volumen maximal werden soll ? |
Also die erste Funktion ist:
V = [mm] 1/3*a^2*h
[/mm]
S = G + 4*A = 200
S = [mm] a^2 [/mm] + 4*(h/2*a) = 200
S nach h umgeformt ergibt:
h = (200 - [mm] a^2 [/mm] / a) * 0.5
eingesetzt ergibt:
V = 1/3 * [mm] a^2 [/mm] * [mm] ((200-a^2/a)*0.5)
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Das stimmt so nicht, da die Pyramidenhöhe $h_$ und die Seitenhöhe [mm] $h_s$ [/mm] (= Höhe des Dreieckes für eine Seitenwand) unterschiedlich sind.
Die Beziehung zwischen $h_$ und [mm] $h_s$ [/mm] erhält man mit Hilfe von Herrn Pythagoras.
[mm] $$h^2+\left(\bruch{a}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] h_s^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ah habs mir doch gedacht ist aber eben so bei den Formeln gestanden vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
noch eine Frage die höhe für eine Seite kann ich aber auch folgendermassen berechnen:
hs = [mm] \wurzel{(0.5a)^2+h^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok also jetzt habe ich folgende funktionen:
S = 200 = G + 4*A
--->
S = 200 = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 4*((a*\wurzel{(a/2)^2+h^2})/2)
[/mm]
Und
V = [mm] 1/3*a^2*h
[/mm]
nun die erste Gleichung nach h umstellen und einsetzen ergibt:
h = [mm] \wurzel{((100/a)-0.5a)^2/((a/2)^2)}
[/mm]
eingesetzt und gekürzt:
V = [mm] 1/3*a^2*((200/x^2)-1)
[/mm]
Wenn ich davon jetzt aber die Ableitung mache bekomme ich:
f'(x) = -2/3x
und somit bekomme ich keinen hochpunkt
was habe ich falsch gemacht?
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Hallo!
> Ok also jetzt habe ich folgende funktionen:
>
> S = 200 = G + 4*A
>
> --->
>
> S = 200 = [mm]a^2[/mm] + [mm]4*((a*\wurzel{(a/2)^2+h^2})/2)[/mm]
>
> Und
>
> V = [mm]1/3*a^2*h[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nun die erste Gleichung nach h umstellen und einsetzen
> ergibt:
>
> h = [mm]\wurzel{((100/a)-0.5a)^2/((a/2)^2)}[/mm]
Darauf komme ich nicht. Wir haben
$200 = [mm] 2a*\sqrt{\left(\bruch{a}{2}\right)^{2}+h^{2}}+a^{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 200 - [mm] a^{2} [/mm] = [mm] 2a*\sqrt{\left(\bruch{a}{2}\right)^{2}+h^{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{200 - a^{2}}{2a} [/mm] = [mm] \sqrt{\left(\bruch{a}{2}\right)^{2}+h^{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(\bruch{200 - a^{2}}{2a}\right)^{2} [/mm] - [mm] \left(\bruch{a}{2}\right)^{2} [/mm] = [mm] h^{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{\bruch{40000 - 400*a^{2} + a^{4}}{4*a^{2}} - \bruch{a^{2}}{4}} [/mm] = h$
also
$h = [mm] \sqrt{\bruch{40000 - 400*a^{2} + a^{4}}{4*a^{2}} - \bruch{a^{4}}{4a^{2}}} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{40000 - 400*a^{2}}{4*a^{2}}} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{100*(100 - a^{2})}{a^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{10}{a}*\sqrt{100-a^{2}}$.
[/mm]
Und das musst du nun in deine Hauptbedingung
$V(a,h) = [mm] \bruch{1}{3}*a^{2}*h$
[/mm]
für h einsetzen! Dann hängt nämlich das Volumen nur noch von a ab, d.h. du hast eine Funktion für das Volumen V(a) in Abhängigkeit von der Grundseite a!
Durch
$V'(a) = 0$
erhältst du dann die Extremstellen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 04.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo und Vorschlag
[mm] h=\wurzel{\bruch{100*(100-a^{2})}{a^{2}}}
[/mm]
[mm] h=\wurzel{\bruch{10000}{a^{2}}-100}
[/mm]
somit ist nachher zum Ableiten von [mm] \wurzel{\bruch{10000}{a^{2}}-100} [/mm] nur die Kettenregel nötig,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
ok Danke also ich habs jetzt ausgerechnet und komme auf:
a = [mm] \wurzel{100/3} [/mm] = 5.7735
h = 11.54700538
Und das Volumen beträgt 128.3
Ist das richtig?
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Hallo!
Ich komme auf $a = [mm] \sqrt{50} \approx [/mm] 7.07$ als Lösung. Schreib doch mal auf, was du gerechnet hast, damit wir kontrollieren können. Die Funktion für das Volumen lautet
$V(a) = [mm] \bruch{1}{3}*a^{2}*h [/mm] = [mm] \bruch{10}{3}*a*\sqrt{100-a^{2}}$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok jetzt komm ich auf dasselbe:
a = 7.07106
h = 10
V = 166.7
Ich habe einfach Probleme mit den Ableitungen, nicht das ableiten selber sondern kürzen vereinfachen etc.
Aber vielen Dank
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