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Extremwert Teil 2: Minimale Oberfläche gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Aufgabe
Ein Maschinenteil besteht aus einem quaderförmigen Grundkörper
mit einem zylindrischen Zapfen. Das Gesamtvolumen beträgt [mm] 20cm^3. [/mm]
Der Zapfendurchmesser d soll halb so groß wie die Kantenlänge a sein.
Da eine teure Oberflächenbehandlung erforderlich ist, soll die Oberfläche möglichst klein sein.
Wie sind die Maße a, b und d  für die minimale
Oberfläche zu wählen?

HB: O (a,b,d) =  /pi * r² + 2 * /pi * r * h + 2*a²  - /pi*r² + 4*a*b

NB: V = a² * b + /pi * r² *b/2 = 20cm³


Bin ich soweit schonmal auf den richtigen Weg?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Extremwert Teil 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 12.05.2013
Autor: abakus


> Ein Maschinenteil besteht aus einem quaderförmigen
> Grundkörper
> mit einem zylindrischen Zapfen. Das Gesamtvolumen
> beträgt [mm]20cm^3.[/mm]
> Der Zapfendurchmesser d soll halb so groß wie die
> Kantenlänge a sein.

Hallo,
was ist "die Kantenlänge a"?
Hast du eventuell verschwiegen, dass der Quader eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a haben soll? Darauf deutet zumindest der erste Summand deiner Nebenbedingung hin. Im zweiten Summanden benennst du aber plötzlich mit "b/2", was nach deinem Aufgabentext eigentlich a/2 sein sollte.

Bitte überarbeite die Aufgabenstellung so, dass sie für potenzielle Helfer klar ist.


Gruß Abakus
 

> Da eine teure Oberflächenbehandlung erforderlich ist,
> soll die Oberfläche möglichst klein sein.
> Wie sind die Maße a, b und d für die minimale
> Oberfläche zu wählen?
> HB: O (a,b,d) = /pi * r² + 2 * /pi * r * h + 2*a² -
> /pi*r² + 4*a*b

>

> NB: V = a² * b + /pi * r² *b/2 = 20cm³

>
>

> Bin ich soweit schonmal auf den richtigen Weg?


Bezug
                
Bezug
Extremwert Teil 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a.  b/2 ist die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die Gesamte Länge von Quader & Zapfen.

Bezug
                        
Bezug
Extremwert Teil 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 So 12.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo
> Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit
> eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a. b/2 ist
> die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die Gesamte
> Länge von Quader & Zapfen.

Dann gibt es für das Volumen zwei Varianten:

Variante 1:

[mm] V=a^2\cdot\frac{b}{2}+\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2} [/mm]


Variante 2:

[mm] V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2} [/mm]

Hierbei wird der Zylinder aus der "langen quadratischen Säule ausgeschnitten
Beide sind mit leichten Umformungen ineinander überführbar.


Für die Oberfläche kannst du die Oberfläche der Säule berechnen, und dazu die Mantelfläche des Zylinders.
Den "Boden" des Zylinders kannst du weglassen, da du diesen ja auch von der Säulenoberfläche subtrahieren  müsstest, denn dort fehlt genau dieser Zylinderboden.

Also hast du:
[mm] $O=2\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot\frac{b}{2}+2\cdot\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\cdot\frac{b}{2} [/mm]

Vereinfache die Formeln nun noch, erstetze [mm] d=\frac{a}{2} [/mm]

Danach kannst du mit der üblichen Berechnung solcher Extremwertaufgaben beginnen, also:
-Umformung der Nebenbed.
-Einsetzen in die Hauptbed, also die zu optimierende Größe
-Vereinfachen dieses Terms zur Zielfunktion
-Die Extrempunkte der Zielfunktion bestimmen
....

Marius

Bezug
                                
Bezug
Extremwert Teil 2: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 20:09 So 12.05.2013
Autor: abakus


> Hallo
> > Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit
> > eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a. b/2
> ist
> > die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die
> Gesamte
> > Länge von Quader & Zapfen.

>

> Dann gibt es für das Volumen zwei Varianten:

>

> Variante 1:

>

> [mm]V=a^2\cdot\frac{b}{2}+\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]

>
>

> Variante 2:

>

> [mm]V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]

Hallo,
Variante 2 stimmt aber nicht. Da ist nicht der zylindrische Zapfen dran. Das hat dort ein Loch, wo dieser Zapfen sein sollte.
Gruß Abakus
>

> Hierbei wird der Zylinder aus der "langen quadratischen
> Säule ausgeschnitten
> Beide sind mit leichten Umformungen ineinander
> überführbar.

>

> Für die Oberfläche kannst du die Oberfläche der Säule
> berechnen, und dazu die Mantelfläche des Zylinders.
> Den "Boden" des Zylinders kannst du weglassen, da du
> diesen ja auch von der Säulenoberfläche subtrahieren 
> müsstest, denn dort fehlt genau dieser Zylinderboden.

>

> Also hast du:
> [mm]O=2\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot\frac{b}{2}+2\cdot\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\cdot\frac{b}{2}[/mm]

>

> Vereinfache die Formeln nun noch, erstetze [mm]d=\frac{a}{2}[/mm]

>

> Danach kannst du mit der üblichen Berechnung solcher
> Extremwertaufgaben beginnen, also:
> -Umformung der Nebenbed.
> -Einsetzen in die Hauptbed, also die zu optimierende
> Größe
> -Vereinfachen dieses Terms zur Zielfunktion
> -Die Extrempunkte der Zielfunktion bestimmen
> ....

>

> Marius


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Extremwert Teil 2: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 00:23 Mo 13.05.2013
Autor: M.Rex


> >
> > Variante 2:
> >
> > [mm]V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]

>

> Hallo,
> Variante 2 stimmt aber nicht. Da ist nicht der
> zylindrische Zapfen dran. Das hat dort ein Loch, wo dieser
> Zapfen sein sollte.
> Gruß Abakus


Hallo Abakus.

Du hast recht, ich streiche das sofort.

Danke.
Marius

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Bezug
Extremwert Teil 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

also V= a² * b/2 + [mm] \pi [/mm] * (a/2//2) * b/2 = 20cm3


Nach welcher Variabel sollte man nun umstellen ?!

Bezug
                                        
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Extremwert Teil 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 So 12.05.2013
Autor: leduart

hallo
Nimm einfach die, nach deßr du einfacher aufloesen kannst.
Gruss. Leduart

Bezug
                                                
Bezug
Extremwert Teil 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Für mich ist das nicht mehr plausibel.. ich steh aufm Schlauch..

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwert Teil 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Mo 13.05.2013
Autor: M.Rex


> Für mich ist das nicht mehr plausibel.. ich steh aufm
> Schlauch..

Löse doch die Nebenbedingung nach einer Variablen auf, und ersetze damit die Variable in der Hauptbedingung, dann hast dz deine Zielfunktion.

Marius

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