Extremwert Zylinder+aufg. kege < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Do 02.02.2012 | | Autor: | angelos |
| Aufgabe | Ein Gefäß, dessen Gesamtvolumen 384 π Liter beträgt, besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Die Basiskreise des Zylinders und des Kegels sind gleich groß, die Kegelhöhe beträgt 2/3 des Basisdurchmessers. Wie groß ist der Durchmesser und die Höhe des Gefäßes zu wählen, damit der Materialverbrauch minimal wird?
(d = 12 dm; h = 16 dm; O = 192 π dm²) |
Hallo Leute, brauche dringend eure Hilfe! Komme bei dem Beispiel einfach nicht weiter:
o(r) := r* pi *s + 2*r* pi *he + (r)^(2)* pi
d mit 12dm habi ich bereits errechnet.
komme aber bei oberfläche und höhe nicht auf die richtige lösung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
h hätte ich folgender maßen ausgerechnet:
solve(384* pi =(r)^(2)* pi *h + (1)/(3) *(r)^(2)* pi *( (2)/(3) *2*r), h)
O := 2* pi *r*9.39445 + (2)/(3) *(r)^(2)* pi
brauche dringend hilfe! Ist sehr wichtig!!
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Hallo angelos und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Zielfunktion ist richtig, das ist die gute Nachricht. Mit dem hiesigen TeX-Editor aufgbeschrieben sieht sie so aus:
[mm] O(r)=\pi*r*s+2\pi*r*h_e+\pi*r^2
[/mm]
Da fehlt jetzt aber noch s. Über die Angabe, dass die Höhe des Kegels 2/3 des Basisdurchmessers ist, kann man s ebenfalls abhängig von r ausdrücken.
Und jetzt kommt die schlechte Nachricht: du hast offensichtlich noch nicht wirklich verstanden, wazu das nganze mit der Zielfunktion gut ist. Die angegebenen Daten sind nämlich nicht zum Einsetzen gedacht, sondern sie sind vermutlich die Lösung (ich sage vermutlich, da ich die Aufgabe nicht komplett durchgerechnet habe).
Es kommen in deiner Zielfunktion auf der rechten Seite mit r und [mm] h_e [/mm] (:=Zylinderhöhe) nach wie vor zwei Variable vor. Diese hängen jedoch über das gegebene Volumen miteinander zusammen. Du musst jetzt eine Formel für das Volumen dieses zusammengsetzten Körpers aufstellen, das bekannte Volumen einsetzen und die so entstandene Gleichung nach [mm] h_e [/mm] auflösen. Was dort herauskommt, kannst du nun an Stelle von [mm] h_e [/mm] in die Zielfunktion O(r) einsetzen.
Und erst dann kommt der wesentliche Teil der Rechnung: du suchst die minimale Oberfläche (da die Oberfläche den Materialverbrauch bestimmt). Es handelt sich also um ein Extremwertproblem, genauer: um ein Minimum der Zielfunktion.
Ohne GTR/CAS müsste man jetzt also mit der 1. Ableitung arbeiten. Mit Rechenhilfsmittel musst du jedoch die Gleichung
O'(r)=0
nach r auflösen.
Gruß, Diophant
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