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Extremwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Di 06.05.2014
Autor: needmath

Aufgabe
Bestimmen sie Alle Extremstellen von f(t)

f(t) = [mm] \bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5} [/mm]  mit [mm] \alpha \in [/mm] (0;1)


f(t) = [mm] \bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5} [/mm]  

f'(t) = [mm] \bruch{u'*v - u*v'}{v^2} [/mm]

u = [mm] sin^2 [/mm] (t)  u'= 2sin(t) * cos(t)

v = [mm] (1-\alpha cos(t))^5 [/mm]   v'  = [mm] 5(1-\alpha cos(t))^4 [/mm] * [mm] \alpha [/mm] sin(t)

[mm] \Rightarrow [/mm]

f'(t) = [mm] \bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}} [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

f'(t) = [mm] \bruch{2sin(t) * cos(t) - 5sin^3 (t)* \alpha}{1-\alpha cos(t)} [/mm]


ist die ableitung richtig?

        
Bezug
Extremwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Di 06.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen sie Alle Extremstellen von f(t)
>  
> f(t) = [mm]\bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5}[/mm]  mit [mm]\alpha \in[/mm]
> (0;1)
>  

Hallo,

> f(t) = [mm]\bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5}[/mm]  
>
> f'(t) = [mm]\bruch{u'*v - u*v'}{v^2}[/mm]
>  
> u = [mm]sin^2[/mm] (t)  u'= 2sin(t) * cos(t)

richtig

>  
> v = [mm](1-\alpha cos(t))^5[/mm]   v'  = [mm]5(1-\alpha cos(t))^4[/mm] * [mm]\alpha[/mm] sin(t)

richtig.

>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}[/mm]

Das stimmt auch.


>  
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t) - 5sin^3 (t)* \alpha}{1-\alpha cos(t)}[/mm]

Aber was Du hier gemacht hast...
OmG! Ich weiß es: Du hast aus Summen gekürzt. Ganz, ganz furchtbar!

So geht es richtig:

f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}[/mm]

[mm] =\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^4*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}} [/mm]

[mm] =\bruch{(1-\alpha cos(t))^4*[2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}} [/mm]

[mm] =\bruch{[2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}} [/mm]

und jetzt weiter.

LG Angela


>  
>
> ist die ableitung richtig?


Bezug
                
Bezug
Extremwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Di 06.05.2014
Autor: needmath

hi,

ich bin mir nicht sicher ob ich die additionstheorien richtig benutzt habe:

0 [mm] =\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}} [/mm]


0 = 2sin(t) * [mm] cos(t)*(1-\alpha [/mm] cos(t)) - [mm] sin^2(t)*5* \alpha [/mm] sin(t)

0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm] \alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha [/mm] sin(t)

kann ich jetzt folgende additiosntheorie benutzen?

Additionstheorie: [mm] \alpha cos^2(t)- sin^2(t) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] cos(2t)

[mm] \Rightarrow [/mm]

0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm] \alpha [/mm] cos(2t)* 5 [mm] \alpha [/mm] sin(t)

kann das jemand überprüfen?

hier kann ich nochmal die additiosntheorie benutzen oder? wenn ja wie werden die faktoren berücksichtigt?


Bezug
                        
Bezug
Extremwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Di 06.05.2014
Autor: MathePower

Hallo needmath,

> hi,
>  
> ich bin mir nicht sicher ob ich die additionstheorien
> richtig benutzt habe:
>  
> 0 [mm]=\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}}[/mm]
>  
>
> 0 = 2sin(t) * [mm]cos(t)*(1-\alpha[/mm] cos(t)) - [mm]sin^2(t)*5* \alpha[/mm]
> sin(t)
>  
> 0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm]\alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha[/mm]
> sin(t)
>  


Das muss doch so lauten:

[mm]0 = 2sin(t)* \red{(}cos(t) - \alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha sin(t)[/mm]

Jetzt kannst Du diesen Ausdruck faktorisieren.


>
> kann ich jetzt folgende additiosntheorie benutzen?
>  
> Additionstheorie: [mm]\alpha cos^2(t)- sin^2(t)[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
> cos(2t)

>


Das ist nicht so sinnvoll.

Sinnvoller ist, das Additionstheorem [mm] sin^2(t) =1-cos^2(t)[/mm] zu verwenden.


> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> 0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm]\alpha[/mm] cos(2t)* 5 [mm]\alpha[/mm] sin(t)
>  
> kann das jemand überprüfen?
>  
> hier kann ich nochmal die additiosntheorie benutzen oder?
> wenn ja wie werden die faktoren berücksichtigt?

>

Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Extremwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Di 06.05.2014
Autor: needmath

hi,

ich bin jetzt hier:

0 = 2sin(t)* cos(t)* [mm] [1-\alpha [/mm] cos(t)] - 5 [mm] \alpha [/mm] sin(t) * [1-cos(t)]

sinus kürzen:

0 = 2cos(t)* [mm] [1-\alpha [/mm] cos(t)] - 5 [mm] \alpha [/mm] * [1-cos(t)]

0 = 2cos(t) - [mm] 2\alpha cos^2(t) [/mm] -  5 [mm] \alpha [/mm] -  5 [mm] \alpha [/mm] cos(t)

wie mache ich hier weiter?


Bezug
                                        
Bezug
Extremwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Di 06.05.2014
Autor: MathePower

Hallo needmath,

> hi,
>  
> ich bin jetzt hier:
>  
> 0 = 2sin(t)* cos(t)* [mm][1-\alpha[/mm] cos(t)] - 5 [mm]\alpha[/mm] sin(t) *
> [1-cos(t)]
>  

Da hast Du den Exponenten 2 beim Ersetzen vergessen:

[mm]0 = 2sin(t)* cos(t)* [1-\alpha cos(t)] - 5 \alpha sin(t) * [1-cos\red{^{2}}(t)][/mm]

> sinus kürzen:
>  
> 0 = 2cos(t)* [mm][1-\alpha[/mm] cos(t)] - 5 [mm]\alpha[/mm] * [1-cos(t)]
>  


Das lautet dann:

[mm]0 = 2cos(t)* [1-\alpha cos(t)] - 5 \alpha * [1-cos\red{^{2}}(t)][/mm]


> 0 = 2cos(t) - [mm]2\alpha cos^2(t)[/mm] -  5 [mm]\alpha[/mm] -  5 [mm]\alpha[/mm]
> cos(t)
>  


Hier dann entsprechend:

[mm]0 = 2cos(t) - 2\alpha cos^2(t) - 5 \alpha \blue{+} 5 \alpha cos\red{^{2}}(t)[/mm]


> wie mache ich hier weiter?
>  


Substituiere [mm]z=\cos\left(t\right)[/mm].
Das ergibt dann eine quadratische Gleichung in z.


Gruss
MathePower

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