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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Do 03.11.2005
Autor: Mari

Ich kann folgende Aufgabe nicht vollständig lösen und hoffe, dass mir jemand helfen kann:
Die Kurve der Funktion f(x)=(x²-4) / (x+3) und die x-Achse umschließen unterhalb der x-Achse eine Fläche, in die ein Rechteck größten Inhalts einbeschrieben werden soll, dessen eine Seite auf der x-Achse liegt. Gesucht sind die Koordinaten der Ecken.

Mein Ansatz:
Die beiden Ecken auf der x-Achse sind u und v, wobei u > w. Die Höhe meines Rechtecks ist h. Und h = f(u).
Also ist mein Flächeninhalt A= f(u)  * (u - w) , dies ist meine Nebenbedingung.
Ich habe aber zu viele Unbekannte und kann damit nicht weiter rechnen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich danke euch schonmal

        
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Extremwertaufgabe: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 15:30 Do 03.11.2005
Autor: Mathe0

Hallo,

also ich würde bei dieser Aufgabe erstmal hingehen und die Funktion in X-Richtunh verschieben, um es einfacher zu machen. Die Nullstellen sind ja bei -2 und 2. D.h. dann verschieben um 2 nach rechts damit die Nullstelle bei -2 dann genau im Ursprung liegt.

[mm] \Rightarrow [/mm] f_(x-2)

dann bekomme ich die Funktion  [mm] \bruch{x*(x-4)}{x+1} [/mm] raus.

Nun sollte die Lösung der Aufgabe leichter fallen. Bei der Bestimmung der gesuchten Koordinaten darfst du allerdings nicht vergessen die Verschiebung zu berücksichtigen.

Mfg
Mathe0

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Extremwertaufgabe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Do 03.11.2005
Autor: Mari

Danke. Gute Idee, aber damit ist mein Problem noch nicht gelöst, weil ich immer noch genauso viele Unbekannte hab. Ich kann so auch nicht weiterrechnen, oder?!


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Extremwertaufgabe: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 17:50 Do 03.11.2005
Autor: Mathe0

Hallo,

hab das leider vorher nicht ganz gepeilt. Dein Problem ist  also etwas für a zu finden (Flächeninhalt = a*b). Für b ist ja klar f_(u). Für a müsste man jetzt u-w einsetzen wobei w der X-Wert der beiden linken Eckpunkte sein sollte. Wie man das jetzt aber ausdrückt bin ich mir auch noch nicht im klaren, sorry

Mfg
Mathe0

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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Do 03.11.2005
Autor: Mari

Die Lösung stimmt meiner Ansicht nach nicht. Anfangs hab ich auch so gerechnet. Aber die Grundseite des Rechtecks ist nicht einfach u, da u nur die x-koordinate ist. Man benötigt eine zweite Stelle w und die Grundseite ist dann u-w, wenn u>w ist. Der Flächeninhalt ist dann f(u) * (u-w). f(u) ist die eine Seite, nämlich die Höhe und u-w die andere Seite.
Somit ist es meiner Meinung nach auch irrelevant, ob die Funktion verschoben wird oder nicht.
Ich hoffe du kannst nachvollziehen, was ich meine. Vielen Dank für die Hilfe. Lg


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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Do 03.11.2005
Autor: Mathe0

Hallo,

habe meine obwige Antwort editiert, sorry.

Mfg

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Extremwertaufgabe: Anderer Ansatz!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Fr 04.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Mari,

also meiner Meinung nach solltest Du genau umgekehrt vorgehen, d.h. erst die Ecken des Rechtecks bestimmen, die auf dem Funktionsgraphen liegen! (Ach ja: Hast Du die Koordinaten des Tiefpunkts eigentlich schon?)

Also: Du schneidest den Funktionsgraphen mit der waagrechten Geraden
y = -k    (k [mm] \ge [/mm] 0; dieses k ist gleichzeitig die "Höhe" des Rechtecks!).
(Die Schnittpunkte sind die gesuchten Ecken; die anderen Ecken liegen senkrecht "drüber" auf der x-Achse)

Dabei erhalte ich folgende Lösungen:

[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-k \pm \wurzel{k^{2}-12k+16}}{2} [/mm]
(Diskriminante positiv; k [mm] \ge [/mm] 0 ergibt: 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1,523)

Die Breite des Rechtecks ist dann: b = [mm] |x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}| [/mm]
(Keine Angst: Den Betrag kriegen wir schon wieder los!

Ich krieg' dafür: [mm] \wurzel{k^{2}-12k+16} [/mm]

Fläche des Rechtecks daher:

A(k) = [mm] k*\wurzel{k^{2}-12k+16} [/mm]
bzw.
A(k) = [mm] \wurzel{k^{4}-12k^{3}+16k^{2}} [/mm]

Das könntest Du nun theoretisch so wie es ist ableiten und =0 setzen;
musst Du aber nicht, denn:
Wenn A(k) ein Maximum aufweist, dann hat die Funktion
g(k) = [mm] A^{2}(k) [/mm] = [mm] k^{4}-12k^{3}+16k^{2} [/mm]
an derselben Stelle eines!

Daher reicht's, wenn Du g'(k) = 0 setzt und den Randvergleich machst.
Dass aber an den Rändern =0 rauskommt (A(0) =0 und A(1,523) =0),
ist klar, da dort ja die Rechtecke zu Strecken werden, daher Inhalt =0.
Demnach muss der oben erhaltene Wert eine Maximalstelle sein.
(Zum Vergleich: Ich krieg' [mm] k_{1}=1; k_{2}=8. [/mm] Der zweite Wert aber ist wegen des Definitionsbereichs für k unbrauchbar. Daher einzige Lösung: k=1)

Aus dem k-Wert kannst Du nun die Koordinaten der Punkte ermitteln.

mfG!
Zwerglein


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Extremwertaufgabe: klasse!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 05.11.2005
Autor: informix

Hallo Zwerglein,

klasse dieser Ansatz! Ich habe mal gleich einen Verweis aus den Materialien zu diesem Forum auf diese Aufgabe gesetzt, damit ich sie später mal wiederfinde!

Das zeigt einmal mehr, dass häufig ein Blickwechsel zu viel schöneren Lösungen führt als der erstbeste Weg.

Hoffenlich hat Mari das auch schon entdeckt.

Gruß informix


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Extremwertaufgabe: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 Sa 05.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, informix,

> klasse dieser Ansatz! Ich habe mal gleich einen Verweis aus
> den
> Materialien zu diesem Forum
> auf diese Aufgabe gesetzt, damit ich sie später mal
> wiederfinde!
>  
> Das zeigt einmal mehr, dass häufig ein Blickwechsel zu viel
> schöneren Lösungen führt als der erstbeste Weg.

[verlegen] Danke für die Blumen! [verlegen]

mfG!
Zwerglein

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Extremwertaufgabe: Vielen Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 So 06.11.2005
Autor: Mari

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe, ohne dich hätte ich die Aufgabe wahrscheinlich nie lösen könen.
Lieben Gruß

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