Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 16.01.2017 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Es soll eine oben offene quaderförmige Schachtel mit Kantenlängen a,b,c und dem fest vorgegebenen Volumen V angefertigt werden. Wie soll man die Kantenlängen wählen, damit möglichst wenig Material verbraucht wird? |
Hallo,
mit Lagrange erhält man ja die Funktion
[mm] ab+2ac+2bc+\lambda(abc-V). [/mm] Kann man stattdessen
auch [mm] a+b+c+\lambda(abc-V) [/mm] wählen mit der Begründung , dass a+b+c gebau dann minimal wird wenn ab+2ac+2bc minimal wird.
|
|
| |
|
Hallo,
> Es soll eine oben offene quaderförmige Schachtel mit
> Kantenlängen a,b,c und dem fest vorgegebenen Volumen V
> angefertigt werden. Wie soll man die Kantenlängen wählen,
> damit möglichst wenig Material verbraucht wird?
> Hallo,
>
> mit Lagrange erhält man ja die Funktion
> [mm]ab+2ac+2bc+\lambda(abc-V).[/mm] Kann man stattdessen
>
> auch [mm]a+b+c+\lambda(abc-V)[/mm] wählen mit der Begründung ,
> dass a+b+c gebau dann minimal wird wenn ab+2ac+2bc minimal
> wird.
Nein, wie auch. Im nächsten Schritt werden ja die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach a, b, c und [mm] \lambda [/mm] gebildet. Prüfe selbst, dass deine Version zu abweichenden Komponenten im Gradienten führt und damit zu falschen Ergebnissen.
Ich sehe auch nicht, wie du auf deine Vermutung min(a+b+c)=min(ab+2ac+2bc) komnmst (ich halte sie für falsch).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Di 17.01.2017 | | Autor: | Trikolon |
min(a+b+c)=min(ab+2ac+2bc) Habe keinen Beweis warum das gelten sollte, es war nur eine Vermutung. Ich habe bisher aber auch noch nichts gefunden was dagegen spricht
|
|
|
| |
|
Hallo,
dagegen spricht, dass das Volumen fest vorgegeben ist.
a+b+c
ist der vierte Teil der gesamten Kantenlänge des Quaders
ab+2ac+2bc
ist die zu minimierende Oberfläche. Und wie gesagt: die Kanten kannst du nicht einfach gleich Null setzen und dann sagen, dass die Oberfläche dann auch ein Minimum hat, denn: es ist ein Volumen vorgegeben.
Ich verstehe auch nicht den Sinn der Frage. Warum arbeitest du dich da an etwas ab, was mit der Aufgabenstallung überhaupt nichts zu tun hat?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ein fest vorgegebenes, quaderförmiges Volumen hat die kleinste Überfläche, wenn es ein Würfel ist.
Die Oberfläche ist 2(ab+ac+bc). Also wird ab+ac+bc minimal für den Würfel (a=b=c).
Ein fest vorgegebenes, quaderförmiges Volumen hat die kleinste Gesamtkantenlänge, wenn es ein Würfel ist.
Die Gesamtkantenlänge ist 4(a+b+c). Also wird a+b+c minimal für den Würfel (a=b=c).
Beides ist somit für positive a,b,c minimal, wenn sie gleich sind und sich auf ein fest vorgegebenes Volumen beziehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Di 17.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo HJKweseleit,
> Ein fest vorgegebenes, quaderförmiges Volumen hat die
> kleinste Überfläche, wenn es ein Würfel ist.
>
> Die Oberfläche ist 2(ab+ac+bc). Also wird ab+ac+bc minimal
> für den Würfel (a=b=c).
>
> Ein fest vorgegebenes, quaderförmiges Volumen hat die
> kleinste Gesamtkantenlänge, wenn es ein Würfel ist.
>
> Die Gesamtkantenlänge ist 4(a+b+c). Also wird a+b+c
> minimal für den Würfel (a=b=c).
>
> Beides ist somit für positive a,b,c minimal, wenn sie
> gleich sind und sich auf ein fest vorgegebenes Volumen
> beziehen.
Das mag ja alles sein. Aber im vorliegenden Fall passt es nicht, da die Schachtel oben offen ist (was in der geposteten Aufgabenstellung wortwörtlich nachzulesen ist).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo HJKweseleit,
> Das mag ja alles sein. Aber im vorliegenden Fall passt es
> nicht, da die Schachtel oben offen ist (was in der
> geposteten Aufgabenstellung wortwörtlich nachzulesen
> ist).
>
> Gruß, Diophant
Genau! Ich habe darauf hingewiesen, dass sich das alles auf einen geschlossenen Würfel bezieht. Deshalb kann im Rückschluss die Behauptung a+b+c minimal [mm] \gdw [/mm] ab + 2ac + 2bc minimal nicht stimmen, falls die Lösung für den gesuchten Quader kein Würfel ist! Dann wäre zwar zu gegebenem Volumen die Oberfläche (ohne Deckel) minimal, also ab + 2ac + 2bc. Seine Gesamtkantenlänge wäre immer noch 4(a + b + c), aber a + b + c wäre nicht minimal. Wir könnten nämlich neben diesen Nicht-Würfel nun ein Würfel mit gleichem Volumen stellen, und dieser hätte dann, wie ich erwähnt hatte, eine andere, und zwar minimale Gesamtkantenlänge.
Die Lösung des Problems lautet:
Für a=b=2c (ab = Größe des fehlenden Deckels) wird die Oberfläche und damit die Summe ab + 2ac + 2bc minimal.
Sei beispielsweise das Volumen mit 8 vorgegeben. Für [mm] c=\wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] a=b=2*\wurzel[3]{2} [/mm] beträgt das Volumen des Halbwürfels V = 8, sowie a + b + c = [mm] 5*\wurzel[3]{2} \approx [/mm] 6,3 > 6.
Formt man nun diesen Halbwürfel zu einem Würfel mit Volumen 8 und der Kantenlänge 2 um, so ist nun ab + 2ac + 2bc nicht mehr minimal, dafür aber a + b + c = 6 minimal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Mi 18.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Genau! Ich habe darauf hingewiesen, dass sich das alles auf
> einen geschlossenen Würfel bezieht.
Wo?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Erkennt man eigentlich an
> Ein fest vorgegebenes, quaderförmiges Volumen hat die kleinste Überfläche, wenn es ein Würfel ist.
> Die Oberfläche ist 2(ab+ac+bc).
Ein Quader ohne Deckel hat ja eine andere Oberfläche.
|
|
|
| |
|
Hallo, viel einfacher
[mm] A_o(a,b,c)=ab+2ac+2bc
[/mm]
weiterhin folgt aus V=a*b*c
[mm] a=\bruch{V}{bc} [/mm]
[mm] b=\bruch{V}{ac} [/mm]
[mm] c=\bruch{V}{ab}
[/mm]
somit bekommst du das Volumen in Abhängigkeit von b und c
[mm] A_o(b,c)=\bruch{V}{c}+\bruch{2V}{b}+2bc
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
