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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 11.12.2005 | | Autor: | GaGa |
| Aufgabe | | Nach dem FERMAT-schen Prinzip ist der Lichtweg w:= [mm] \wurzel{a^2+x^2}+\wurzel{b^2+(c-x)^2} [/mm] , (a,b,c>0), eines von A (0,a) über den (noch unbekannten) Reflexionspunkt X=(x,0) nach B= c,b) gehenden Lichtstrahls minimal. Man ermittle den Refelxionspunkt. Wie erhält man hieraus das reflektionsgesetz "Einfallswinkel=Ausfallswinkel"? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich habe mit dieser Extremwertaufgabe einige Probleme:
Ich würde jetzt erstamal das minimum der Funktion ausrechenen. An den Randbereichen geht die funktion ins unendliche, also habe ich die Ableitung gemacht:
[mm] w'(x)=x/\wurzel{a^2+x^2}+(c+x)/\wurzel{b^2+(c-x)^2}
[/mm]
Diese muss ich ja nun gleich null setzten. Aber wie kann ich sie dann nach x auflösen? und ist das überhaupt richtig so?
Weiter würde ich dann so verfahren, dass ich zeige, dass die funktion links vom minimum genauso stark fällt, wie sie rechts vom minimum steigt. dadurch ist dann ja der winkel auf beiden seiten gleich.
Erstmal vienen dank für die Mühe
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Hi, Maren,
> Nach dem FERMATschen Prinzip ist der Lichtweg w:=
> [mm]\wurzel{a^2+x^2}+\wurzel{b^2+(c-x)^2}[/mm] , (a,b,c>0), eines
> von A (0,a) über den (noch unbekannten) Reflexionspunkt
> X=(x,0) nach B= c,b) gehenden Lichtstrahls minimal. Man
> ermittle den Reflexionspunkt. Wie erhält man hieraus das
> Reflektionsgesetz "Einfallswinkel=Ausfallswinkel"?
> Ich würde jetzt erstamal das Minimum der Funktion
> ausrechnen. An den Randbereichen geht die funktion ins
> Unendliche, also habe ich die Ableitung gemacht:
> [mm]w'(x)=x/\wurzel{a^2+x^2}+(c+x)/\wurzel{b^2+(c-x)^2}[/mm]
Also: Beim 2. Summanden hast Du Dich wohl vertan! Ich krieg' da jedenfalls:
... + [mm] \bruch{-(c-x)}{\wurzel{b^{2}+(c-x)^{2}}}
[/mm]
Wenn Du das =0 setzt, kannst Du die beiden Terme auf verschiedene Seiten bringen und "über Kreuz" multiplizieren.
Dann kriegst Du:
[mm] x*\wurzel{b^{2}+(c-x)^{2}} [/mm] = [mm] (c-x)*\wurzel{a^{2}+x^{2}}
[/mm]
Nun quadriere!
[mm] x^{2}*( b^{2}+(c-x)^{2}) [/mm] = [mm] (c-x)^{2}*(a^{2} [/mm] + [mm] x^{2}) [/mm]
Wie Du siehst, kann man das [mm] x^{2}*(c-x)^{2}, [/mm] das auf beiden Seiten vorkommt, streichen, sodass bleibt:
[mm] b^{2}*x^{2} [/mm] = [mm] a^{2}*(c-x)^{2}
[/mm]
Naja, und das nach x aufzulösen dürfte kein Problem sein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 So 11.12.2005 | | Autor: | GaGa |
Vielen Dank!
Ist ja eigentlich garnicht so schwer!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 11.12.2005 | | Autor: | GaGa |
Tut mir leid, stehe heute wirklich auf dem Schlauch.
Habe die gleichunh jetzt umgeformt zu:
[mm] c-b^2/(a^2*c)=1/x
[/mm]
Aber wir komme ich denn nun auf x? Wenn ich wieder mit x multipliziere ist es ja wieder auf der anderen Seite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 11.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Schlauch ist gründlich zu!
1. Du hast die Gl falsch ausmultipliziert. Du musst eine quadrat. Gleichung bekommen. die dann nach pq Formel lösen.
Aber: i.A. löst man das Problem einfacher. lege den Punkt c auf die andere Seite der Fläche. dann ist die Gerade die kürzeste Verbindung, damit findest du den Punkt x sofort. ohne Pythagoras, ohne Differentialrechng. indem du c danach wieder nach oben legst.
Gruss leduart
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