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Extremwertaufgabe? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extremwertaufgabe?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:11 Di 18.11.2003
Autor: ministel

Hm, ich steh grad vor ner Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiterkomme.

Ich habe als Voraussetzungen:
Sei [mm](\Omega , \mathcal{P}(\Omega ), P)[/mm] ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien A, B, C aus [mm]\Omega[/mm] paarweise stochastisch unabhängig mit P(A) = P(B) = P(C) = p und [mm]P(A \cap B \cap C) = 0.[/mm]
Für welches p wird [mm]P(A \cup B \cup C)[/mm] maximal?

Wie gehe ich das denn an, dass ich erkenne, wie p gewählt sein muss? Ich hab da so ein bischen rumgerechnet mit den Voraussetzungen, aber irgendwie dreh ich mich da im Kreis.

        
Bezug
Extremwertaufgabe?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 Di 18.11.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel,

es gilt:

[mm] P (A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B \cap C)[/mm]

[mm] = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) [/mm] (da [mm]P(A\cap B\cap C)=0[/mm] nach Voraussetzung)

[mm] = P(A) + P(B) + P(C) - P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(C) - P(B) \cdot P(C) [/mm] (da A, B, C paarweise stochastisch unabhängig sind)

[mm] = 3p - 3p^2[/mm]

[mm] = -3\cdot\left(p-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.[/mm]

Dies ist die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt [mm]S\left(\frac{1}{2}/\frac{3}{4}\right)[/mm]

Die Wahrscheinlichkeit ist also maximal für [mm]p=\frac{1}{2}[/mm] und beträgt dann [mm]P(A\cup B \cup C)=\frac{3}{4}[/mm]

Liebe Grüße
Stefan


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Bezug
Extremwertaufgabe?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:03 Di 18.11.2003
Autor: ministel

Verdammt, den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. :)
Dank dir.

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